Diferansiyel Denklemler Soru Yardımı Alma 19

Diferansiyel Denklemler konusunda uzmanlaşmış bir ekibe sahip olan Ödevcim, size diferansiyel denklemler ve tüm matematik konularında soru çözümlerinde yardımcı olmak için burada. Dilerseniz tüm ödevinizi biz hazırlayalım, dilerseniz size dilediğiniz konuda özel ders verelim. Ödevcim ekibine ulaşmak çok kolay. Hemen whatsapp destek hattımızdan veya akademikodevcim@gmail.com mail adresimizden bizlere talebinizi iletebilir, ücretlerimiz hakkında fikir edinebilirsiniz.

n. Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

n inci mertebeden,

$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$

diferansiyel denklemi y ve y nin türevlerine göre birinci dereceden ise bu denkleme lineer diferansiyel denklem denir. P₀, P₁, P₂, …. , P_n ve Q(x) x’ in verilmiş ve sürekli fonksiyonları olmak üzere, n inci mertebeden bir lineer diferansiyel denklem genel olarak

$P_0(x)y^{(n)}+P_1(x)y^{(n-1)}+P_2(x)y^{(n-2)}+...+P_{n-1}(x)y'+P_n(x)y=Q(x)$

veya kısaca

$\sum_{k=0}^{n}P_k(x)y^{(n-k)}=Q(x)~~~~~ (y=y^{(0)})$

biçimindedir. Diferansiyel denklem n inci mertebedense P₀ (x)≠ 0 olmak zorundadır. Denklemin her iki tarafı P₀ (x) ile bölünür ve

$a_i=\frac{P_i}{P_0}~~ (i=1,2,...,n),~~\frac{Q(x)}{a_0}=F(x)$

yazılırsa

$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+a_2(x)y^{(n-2)}+...+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=F(x)$

elde edilir. Bu denklemde şayet F(x) ≡ 0 ise denkleme sağ tarafsız yahut Homojen denklem denir. Şayet F(x) idantik olarak sıfır değilse denkleme sağ taraflı veyahut Homojen olmayan lineer diferansiyel denklem denir. Lineer diferansiyel denklemlerin genel özellikleri aşağıdaki gibidir.

y₁(x) fonksionu Homojen denklemin bir çözümü ise C₁ keyfi sabiti ile bunun çarpımı olan C₁y₁ de homojen bir çözümdür.
Sağ tarafsız denklemin y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) gibi n tane çözümü varsa bunların sabitlerle çarpımının toplamı olan C₁y₁(x) + C₂y₂(x) + … + C_ny_n(x) de çözümdür.
φ (x) fonksiyonu sağ taraflı denklemin bir çözümü ve y_i (x) (i=1,2,…,n) de bu denkleme tekabül eden sağ tarafsız denklemin n tane çözümü ise bu taktirde C₁, C₂, …, C_n ler keyfi sabitler olmak üzere φ (x) + C₁y₁(x) + C₂y₂(x) + … + C_ny_n(x) ifadesi homojen olmayan lineer diferansiyel denklemin bir çözümüdür.
Lineer diferansiyel denklem, bağımsız değişkenin değiştirilmesi ile yine lineer bir diferansiyel denkleme dönüşür.
Lineer diferansiyel denklem, aranan y fonksiyonunun lineer bir dönüşümünde de yine lineer bir denkleme dönüşür.
WRONSKI determinantı WRONSKIYEN : y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) n tane fonksiyonu ve C₁, C₂, …, C_nde n tane sabiti göstermek üzere şayet C₁y₁(x) + C₂y₂(x) + … + C_ny_n(x) = 0 bağıntısı ancak ve ancak C₁ = C₂ = … = C_n = 0 olduğunda sağlanıyorsa y₁(x), y₂(x), y_n(x) fonksiyonlarına lineer bağımsızdırlar denir. Aksi halde bu fonksiyonlara lineer bağımlıdırlar denir. $C_1y_1+C_2y_2+...+C_ny_n=0$ denkleminde ard arda türevler almak suretiyle aşağıdaki sistem teşkil edilebilir. $\begin{align*} C_1y_1+C_2y_2+...+C_ny_n&=0\\ C_1y'_1+C_2y'_2+...+C_ny'_n&=0\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots &\cdots \\ C_1y_1^{(n-1)}+C_2y_2^{(n-1)}+...+C_ny_n^{(n-1)}&=0 \end{align*}$ Bu denklemlerden C₁, C₂, …, C_n bilinmeyenlerinin hepsinin sıfır olması için sistemin katsayılar determinantı sıfırdan farklı olmalıdır. Yani, $\begin{vmatrix} y_1 & y_2 & \cdots\cdots\cdots &y_n \\ y'_1 & y'_2 & \cdots\cdots\cdots & y'_n\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-2)} & \cdots & y_n^{(n-1)} \end{vmatrix} = W(y_1,y_2,\cdots,y_n)\neq 0$ olmak zorundadır. Bu determinanta WRONSKI determinantı denir. WRONSKI determinantı sıfıra eşit ise y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) fonksiyonları lineer bağımlıdırlar. Aksi halde bu fonksiyonlar lineer bağımsızdırlar.
Şimdi genel çözümü, $y=C_1y_1+C_2y_2+\cdots+C_ny_n+\varphi (x)$ olan n. mertebeden lineer bir diferansiyel denklemin nasıl elde edilebileceğini ele alalım. Bunun için, $y-\varphi (x),y_1,y_2,\cdots,y_n$ fonksiyonları göz önüne alınırsa, bu fonksiyonlar lineer bağlı olduklarından bunların Wronski determinantı sıfıra eşit olacağından, $W=\begin{vmatrix} y-\varphi (x) & y_1 & y_2\cdots\cdots y_n\\ y'-\varphi' (x) & y_1' &y'_2\cdots\cdots y'_n \\ y''-\varphi'' (x) & y_1'' & y''_2\cdots\cdots y''_n\\ \cdots\cdots & \cdots & \cdots\cdots\cdots\\ y^{(n)}-\varphi^{(n)} (x) & y_1^{(n)} & y^{(n)}_2\cdots\cdots y_n^{(n)} \end{vmatrix}=0$ olacaktır. Bu determinantın açılıp sıfıra eşitlenmesiyle, y nin gerçeklendiği n. mertebeden lineer diferansiyel denklem bulunur.

Lineer Homojen Diferansiyel Denklemlerde Mertebe Düşürme

n. mertebeden lineer bir diferansiyel denklemin sağ tarafsız kısmının bir özel çözümü biliniyorsa mertebenin (n-1) inci mertebeden lineer bir diferansiyel denkleme indirgenmesi, lineer diferansiyel denklemlerin önemli bir özelliğidir. Homojen kısmın özel çözümü y₁(x) olmak üzere denklemde,

$y=u(x)y_1(x)$

dönüşümü yapılarak (n-1) inci mertebeden lineer denklem elde edilir.

1- ${\color{DarkGreen} y_1=ex~;~y_2=e^{-x}}$ fonksiyonlarının lineer bağımsız olduklarını gösteriniz.