Diferansiyel Denklemler Soru Yardımı Alma 12

By Profesyonel Akademik İçerik Üreticisi
Posted in Diferansiyel Denklemler Çözüm / Diferansiyel Denklemler Karşılaştırma / Diferansiyel Denklemler Riccati / Diferansiyel Denklemler Soru Yardımı Almak / Diferansiyel Denklemler Soru Yardımı Almak İstiyorum / Diferansiyel Denklemler Soru Yardımı Nedir / Ödevcim / Riccati Diferansiyel Denklem Genel Çözüm / Riccati Diferansiyel Denklem Genel Çözüm Yardımı / Riccati Diferansiyel Denklem Genel Çözüm Yardımı Allma / Riccati Diferansiyel Denklem Genel Çözüm Yardımı Almak / Riccati Diferansiyel Denklemi / Riccati Diferansiyel Denklemler
0 Yorum
Updated Temmuz 4, 2019
3 mins read

Diferansiyel Denklemler konusunda uzmanlaşmış bir ekibe sahip olan Ödevcim, size diferansiyel denklemler ve tüm matematik konularında soru çözümlerinde yardımcı olmak için burada. Dilerseniz tüm ödevinizi biz hazırlayalım, dilerseniz size dilediğiniz konuda özel ders verelim. Ödevcim ekibine ulaşmak çok kolay. Hemen whatsapp destek hattımızdan veya akademikodevcim@gmail.com mail adresimizden bizlere talebinizi iletebilir, ücretlerimiz hakkında fikir edinebilirsiniz.

Riccati Diferansiyel Denklemi

Riccati diferansiyel denkleminin normal şekli,

$\large y' = P(x)y^2+Q(x)y+R(x)$

şeklindedir. Burada P(x), Q(x) ve R(x) x’in fonksiyonları olup, P ≠0 dır. y₁ denklemin bir özel çözümü ise, bu taktirde,

$\large y = y_1+\frac{1}{u}~~;~~ y'=y'_{1}-\frac{u'}{u^2}$

dönüşümü ile

$\large y'_{1}-\frac{u'}{u^2}=P(x)(y_1+\frac{1}{u})^2+ Q(x)(y_1+\frac{1}{u})+R(x)$

bulunur. Oysa y₁ özel çözüm olduğundan verilen denklemi gerçekleyecektir. Yani,

$\large y'_{1} = P(x)y^{2}_{1}+Q(x)y_{1}+R(x)$

yazılabilir. Bu değer yerine yazılarak,

$\large u'+[2P(x)y_{1}+Q(x)]u+P(x)=0$

lineer diferansiyel denklemi elde edilir.

Bazı Özel Haller

a) Riccati diferansiyel denkleminin y₁ ve y₂ gibi iki özel çözümü biliniyorsa genel çözüm kolaylıkla elde edilebilir. Şöyle ki; y₁ özel çözüm olduğundan,

$\large y_1= Py^2+Qy+R$

denklemi gerçekler. Yani

$\large y'_1 = Py^2_1 + Qy_1 + R$

olur. O halde,

$\large y' - y'_1 = P(y^2-y^2_1)+Q(y-y_1)$

bulunur. O halde,

$\large \frac{y'-y'_1}{y-y_1}=P(y+y_1)+Q$

dır. Aynı şekilde y₂ özel bir çözüm olduğundan

$\large y'-y'_2 = P(y^2-y^2_2)+Q(y-y_2)~~ veya~~ \frac{y'-y'_2}{y-y_2}=P(y+y_2)+Q$

olacaktır. Bu iki bağıntıyı daha değişik şekilde yazalım;

$\inline \large \frac{y'-y'_1}{y-y_1}=P(y+y_1)+Q ~~ \Rightarrow ~~ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} [ln(y-y_1)] = P(y+y_1)+Q ~~~(\alpha )$

yazılabilir. Aynı şekilde,

$\inline \large \frac{y'-y'_2}{y-y_1}=P(y+y_2)+Q ~~ \Rightarrow ~~ \frac{\mathrm{d}} {\mathrm{d} x}[ln(y-y_2)] = P(y+y_2)+Q ~~~(\beta )$

yazılabilir. (α) ve (β) taraf tarafa çıkartılarak,

$\large \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} [ln\frac{y-y_1}{y-y_2}]=P(y_1-y_2)$

bulunur. İntegral alınarak,

$\large ln\frac{y-y_1}{y-y_2}-lnC = \int P(y_1-y_2)dx$

ve buradan da,

$\large \frac{y-y_1}{y-y_2}=C.e^{\int P(y_1-y_2)dx}$

genel çözümü bulunur.

1- $\large {\color{DarkOrange} y' + \frac{y^2}{x(x-x^2)}+y\frac{x-2}{x(1-x)}=0}$ Riccati diferansiyel denkleminin iki özel çözümü y₁ = x ve y₂ = x² ise genel çözümü bulunuz.