Diferansiyel Denklemler Kitabı Ücretli Soru Çözümleri 20

Diferansiyel Denklemler konusunda uzmanlaşmış bir ekibe sahip olan Ödevcim, size diferansiyel denklemler ve tüm matematik konularında soru çözümlerinde yardımcı olmak için burada. Dilerseniz tüm ödevinizi biz hazırlayalım, dilerseniz size dilediğiniz konuda özel ders verelim. Ödevcim ekibine ulaşmak çok kolay. Hemen whatsapp destek hattımızdan veya akademikodevcim@gmail.com mail adresimizden bizlere talebinizi iletebilir, ücretlerimiz hakkında fikir edinebilirsiniz.

Homojen Olmayan (ikinci taraflı) Lineer Diferansiyel Denklemler

$P_0(x)\frac{\mathrm{d}^ny }{\mathrm{d} x^n}+P_1(x)\frac{\mathrm{d}^{n-1}y }{\mathrm{d} x^{n-1}}+\cdots+P_{n-1}(x)\frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} x}+P_n(x)y=Q(x)$

diferansiyel denkleminin genel çözümü, sağ tarafsız denklemin genel çözümü ile sağ taraflı denklemin bir özel çözümünün toplamından ibarettir. Yani homojen kısmın genel çözümü,

$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+\cdots+C_ny_n(x)$

ve karşı taraflı denklemin bir özel çözümü, y = y_P ise sağ taraflı denklemin genel çözümü

$y=C_1y_1+C_2y_2+\cdots+C_ny_n+y_p$

şeklindedir. O halde genel çözümün bulunması için y_P özel çözümün bilinmesi gereklidir.

“Lagrange” ispat etmiştir ki, homojen denklemin genel çözümü biliniyorsa, ikinci taraflı denklemin özel çözümü bu genel çözüm yardımıyla bulunabilir. Buna Lagrange Sabitlerinin Değiştirilmesi Metodu adı verilir. Metodun esası şudur:

Sağ tarafsız denklemin genel çözümü olan,

$y=C_1y_1+C_2y_2+\cdots+C_ny_n$

ifadesindeki $C_1,C_2,\cdots,C_n$ sabitleri yerine bağımsız değişkenin $C_1(x),C_2(x),\cdots,C_n(x)$ fonksiyonlarını almak ve bu yeni $C_1(x),C_2(x),\cdots,C_n(x)$

fonksiyonlarını

$y= C_1(x)y_1+C_2(x)y_2+\cdots+C_n(x)y_n$

çözümü sağ taraflı diferansiyel denklemi sağlayacak şekilde belirlemekten ibarettir. Böylece bulunacak olan $C_1(x),C_2(x),\cdots,C_n(x)$ fonksiyonları yerine yazılarak,

$y_p=C_1(x)y_1+C_2(x)y_2+\cdots+C_n(x)y_n$

özel çözümü elde edilecektir. Özel çözüm aranırken $C_1,C_2,\cdots,C_n$ ler ile ilgili aşağıdaki eşitlikleri göz önünde bulundurmak gerekir.

$\begin{align*} C_1'y_1+C_2'y_2+\cdots+C_n'y_n&=0\\ C_1'y_1'+C_2'y_2'+\cdots+C_n'y_n'&=0\\ ......................................&.......\\ C_1'y_1^{(n-1)}+C_2'y_2^{(n-1)}+\cdots+C_n'y_n^{(n-1)}&=\frac{Q(x)}{P_0(x)} \end{align*}$

ve böylece $y=C_1(x)+y_1(x)+\cdots+C_n(x)y_n(x)$ den ard arda n kez türev alınarak,

$\begin{align*} y'&=C_1y_1'+C_2y_2'+\cdots+C_ny_n'\\ y''&=C_1y_1''+C_2y_2''+\cdots+C_ny_n''\\ ...&.........................................\\ y^{(n)}&=C_1y_1^{(n)}+C_2y_2^{(n)}+\cdots+C_ny_n^{(n)}+\frac{Q(x)}{P_0(x)} \end{align*}$

elde edilir. Bunlarla denkleme girilirse denklem sağlanır. Şu halde $C_1'(x),C_2'(x),\cdots,C_n'(x)$ yukarıdaki lineer denklem sisteminden çözülebilir. Daha sonra $C_1'(x),\cdots,C_n'(x)$ lerden integral almak suretiyle $C_1(x),\cdots,C_n(x)$ ler hesaplanır. Dikkat edilecek husus şudur: Yukarıdaki sistemin çözümünün olabilmesi için katsayılar determinantının sıfır olmaması gerekir. Yani,

$\begin{vmatrix} y_1 &y_2 & .......... & y_n \\ y_1' & y_2' & .......... & y_n'\\ .....&.....&. .....&..... \\ y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & ..... & y_n^{(n-1)} \end{vmatrix} \neq 0$

olmalıdır. Zaten $y_1,y_2,y_3,\cdots,y_n$ ler lineer bağımsız olduklarından bunların Wronski determinantı sıfırdan farklıdır. Oysa yukarıdaki determinant $y_1,y_2,y_3,\cdots,y_n$ lerin Wronskiyeninden başka bir şey değildir.