Diferansiyel Denklemler Kitabı Ücretli Soru Çözümleri 21

By Profesyonel Akademik İçerik Üreticisi
Posted in Diferansiyel Denklemler Kitabı Ücretli Soru Çözüm Nasıl Olur / Diferansiyel Denklemler Kitabı Ücretli Soru Çözüm Yardımı / Diferansiyel Denklemler Kitabı Ücretli Soru Çözüm Yardımı Alma / Diferansiyel Denklemler Kitabı Ücretli Soru Çözüm Yardımı İsteme / Ödevcim
0 Yorum
Updated Temmuz 17, 2019
4 mins read

Diferansiyel Denklemler konusunda uzmanlaşmış bir ekibe sahip olan Ödevcim, size diferansiyel denklemler ve tüm matematik konularında soru çözümlerinde yardımcı olmak için burada. Dilerseniz tüm ödevinizi biz hazırlayalım, dilerseniz size dilediğiniz konuda özel ders verelim. Ödevcim ekibine ulaşmak çok kolay. Hemen whatsapp destek hattımızdan veya akademikodevcim@gmail.com mail adresimizden bizlere talebinizi iletebilir, ücretlerimiz hakkında fikir edinebilirsiniz.

Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklemler

$a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n$ ler verilmiş sabitler olmak üzere,

$a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{(n-1)}y'+a_ny=Q(x)$

şeklindeki diferansiyel denkleme n. mertebeden sabit katsayılı lineer diferansiyel denklem adı verilir. Şayet $Q(x)\equiv 0$ ise denklem,

$a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{(n-1)}y'+a_ny=0$

halini alır ki bu denkleme sabit katsayılı sağ tarafsız (homojen) diferansiyel denklem denir.

Sabit Katsayılı Homojen Diferansiyel Denklemlerin Genel Çözümü

Önce,

$D=a_0\frac{\mathrm{d}^n }{\mathrm{d} x^n}+a_1\frac{\mathrm{d}^{n-1} }{\mathrm{d} x^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y}+a_n$

şeklinde bir türev operatörü tanımlayacağız. Bu operatör yardımıyla verilen denklem,

$D(y)=a_0\frac{\mathrm{d}^ny }{\mathrm{d} x^n}+a_1\frac{\mathrm{d}^{n-1}y }{\mathrm{d} x^{n-1}}+\cdots+a_ny=0$

veya kısaca,

$D(y)=0$

şeklinde yazılır. r sabit bir bilinmeyeni göstermek üzere yukarıdaki denklemin $y=e^{rx}$ şeklinde çözümlerini arayalım. Bu ifadeyi türevleri almak suretiyle yukarıdaki denklemde yerine yazarsak,

$D(e^{rx})=e^{rx}(a_0r^n+a_1r^{n-1}+\cdots+a_{n-1}r+a_n)=0$

elde edilir. Kısaca,

$D(e^{rx})=e^{rx}f(r)=0$

elde edilir. Burada,

$f(r)=a_0r^n+a_1r^{n-1}+\cdots+a_{n-1}r+a_n=0$

n tane kökü olan cebirsel bir denklemdir. Bu denkleme diferansiyel denklemin karakteristik denklemi denir. Bunun her r_i (i = 1,2,….,n) köküne karşılık gelen e^r_ix fonksiyonu diferansiyel denklemi sağlar.

Karakteristik denklemin köklerine göre homojen denklemin genel çözümü de farklı olacaktır. Kökler reel ve farklı, reel ve katlı, kompleks olabilir. Bu hallerin her birini ayrı ayrı inceleyelim.

Karakteristik Denklemin Köklerinin Gerçek ve Birbirinden Farklı Olması Hali

f(r) = 0 karakteristik denkleminin $r_1,r_2,...,r_n$ gibi n tane farklı kökünün reel olduğunu farzedelim. Bu taktirde diferansiyel denklemin n tane

$e^{r_1x},e^{r_2x},...,e^{r_nx}$

şeklinde özel çözümü vardır. Bu özel çözümler aralarında lineer bağımsız oduklarından Wronski determinantı sıfırdan farklıdır. O halde $C_1,C_2,...,C_n$ ler n tane keyfi sabit olmak üzere sabit katsayılı homojen denklemin genel çözümü,

$y = C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}+...+C_ne^{r_nx}$

veya kısaca,

$y= \sum_{i=1}^{n}C_ie^{r_ix}$

şeklindedir.

Karakteristik Denklemin Köklerinin Gerçek ve Katlı Olması Hali

f(r) = 0 karakteristik denkleminin $k\leq n$ olmak üzere k tane köklü kat olsun. Yani,

$r_1=r_2=r_3=...=r_k$

olsun. Bu taktirde genel çözüm,

$y=(C_1+C_2x+C_3x^2+...+C_kx^{k-1})e^{r_1x}+C_{k+1}e^{r_{k+1}x}+...+C_ne^{r_nx}$

şeklindedir.

Karakteristik Denklemin Köklerinin Kompleks Olması Hali

f(r) = 0 karakteristik denkleminin $r_1,r_2,...,r_n$ köklerinden bazıları veya hepsi karmaşık olabilir. Katsayıları reel olan cebirsel denklemin kompleks kökleri ikişer ikişer eşlenecektir. Yani, a+ib kök ise bunun eşleniği olan a-ib de köktür. f(r) = 0 denkleminin 2 kökü olduğunu ve bunların $r_1=a+ib,~r_2=a-ib$ olduğunu varsayalım.

$\begin{align*} e^{r_1x}&=e^{ax}(cosbx+isinbx)\\ e^{r_2x}&=e^{ax}(cosbx-isinbx) \end{align*}$

ifadeleri göz önüne alınarak,

$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}=C_1e^{(a+ib)x}+C_2e^{(a-ib)x}$

ten,

$\inline \small y=e^{ax}[(C_1+C_2)cosbx+i(C_1-C_1)sinbx]~~veya~~\overline{C_1}=C_1+C_2~;~\overline{C_2}= (C_1-C_2)i$

konularak,

$\small y=e^{ax}(\overline{C_{1}}cosbx+\overline{C_2}sinbx)$

şeklinde genel çözüm bulunur. Şayet n tane kök varsa ve bunların sadece 2 tanesi kompleks ise genel çözüm,

$\small y=e^{ax}(C_1cosbx+C_2sinbx)+C_3e^{r_3x}+\cdots+C_ne^{r_nx}$

şeklindedir.

Şayet kompleks kökler de katlı ise genel çözüm şu şekilde olacaktır. Karakteristik denklemin dört kompleks kökü katlı olsun yani,

$\small r_1=a+ib~;~r_2=a-ib~ve~r_3=a+ib~;~r_4=a-ib$

kökleri olsun. Diğer kökler reel olmak üzere,

$\small y=e^{ax}[(C_1+C_2x)cosbx+(C_3+C_4x)sinbx]+C_5e^{r_5x}+\cdots+C_ne^{r_nx}$