Diferansiyel Denklemler Kitabı Ücretli Soru Çözümleri 28

Diferansiyel Denklemler konusunda uzmanlaşmış bir ekibe sahip olan Ödevcim, size diferansiyel denklemler ve tüm matematik konularında soru çözümlerinde yardımcı olmak için burada. Dilerseniz tüm ödevinizi biz hazırlayalım, dilerseniz size dilediğiniz konuda özel ders verelim. Ödevcim ekibine ulaşmak çok kolay. Hemen whatsapp destek hattımızdan veya akademikodevcim@gmail.com mail adresimizden bizlere talebinizi iletebilir, ücretlerimiz hakkında fikir edinebilirsiniz.

Diferansiyel Denklemlerin Seri Çözümleri

P, Q, R ve S aynı I aralığı üzerinde sürekli fonksiyonlar olmak üzere ikinci mertebeden

$\small P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=S(x)$

lineer diferansiyel denklemi göz önüne alınacaktır. Bu denklemi yalnızca çok özel durumlarda (S(x)’in belirli bazı fonksiyonlar olduğu sabir katsayılı veya Cauch-Euler tipinde) çözebiliriz. Bunun için katsayılar fonksiyonu üzerinde çok az kısıtlama yaparak nasıl hareket edeceğimizi göz önüne alacağız.

Birinci olarak başlangıç değerlerinin özel olarak verildiği bir x₀ noktası civarındaki bazı aralıklarda çözümleri araştıracağız. Bu aralık içinde katsayı fonksiyonları genellikle belli özelliklere sahip olmayı gerektirecektir. İşleme devam ederken bunları açık bir şekilde ifade etmeliyiz. Böylece çözümler yalnızca x₀ civarındaki bir aralık üzerinde sağlanır ve yerel özelliklere sahiptir.

Birçok durumda bilinen fonksiyonların sonlu kombinasyonu olarak çözümleri elde etmek mümkün olmayabilir. Böyle durumlarda x₀ noktası civarındaki kuvvet serisi açılımları şeklinde çözümler araştılır. $\small P(x_0)\neq 0$ olduğunda kuvvet serisi çözümleri vardır. $\small P(x_0)=0$ olduğunda ise kuvvet serisi çözümleri mümkün olmayabilir. Bu durumlarda kuvvet serilerinin bir genelleştirilmişi olan Frobenius serileri adını verdiğimiz serileri kullanacağız.

Diferansiyel Denklemlerin Kuvvet Serisi Çözümleri

Bir diferansiyel denklemin kuvvet serisi metodu ile çözümü,

$\small \sum_{n=0}^{\infty }a_n(x-x_0)^n$

kuvvet serisini diferansiyel denklemde yerine koyarak $\small a_0,a_1,\cdots$ katsayılarını çözmek demektir. Bu durumda bu seri denklemin bir çözümüdür. Her diferansiyel denklem bu şekilde çözülemeyebilir. Bununla beraber aşağıdaki iki teoremle kuvvet serisii çözümlerine sahip bazı diferansiyel denklemler için yeterli şartlar verilebilir.

$\small \sum_{n=0}^{\infty }a_n(x-x_0)^n$ şeklindeki bir seriye x₀ civarındaki kuvvet serisi denir. x₀ sayısına serinin merkezi ; $\small a_0,a_1,a_2,\cdots$ sayılarına da serinin katsayıları adı verilir.

Kuvvet Serilerinin Yakınsaklığı

$\small x_1\neq x_0$ noktasında $\small \sum_{n=0}^{\infty }a_n(x-x_0)^n$ serisinin yakınsak olduğunu kabul edelim. Bu taktirde;

$\small |x-x_0|~<~|x_1-x_0|$

olacak şekilde ∀x için $\small \sum_{n=0}^{\infty }a_n(x-x_0)^n$ serisi mutlak yakınsaktır. Yani x₀ dan farklı bir x₁ noktasında kuvvet serisi yakınsak ise x₀ noktasına x₁ den daha yakın olan ∀x noktasında seri mutlak yakınsaktır.

Teorem 1. p ve q, x₀ noktasında analitik fonksiyonlar ise:

$\small y'+p(x)y=q(x)$

birinci mertebeden lineer diferansiyel denkleminin her çözümü de aynı zamanda x₀ noktasında analitiktir ve $\small \sum_{n=0}^{\infty }a_n(x-x_0)^n$ şeklinde bir kuvvet serisi şeklinde gösterilebilirdir. Aynı zamanda bu seri çözümün yakınsaklık yarıçapı en az x₀ noktasındaki p ve q fonksiyonlarının Taylor seri açılımlarının yakınsaklık yarıçaplarından küçük olan kadardır.

İkinci mertebeden lineer diferansiyel denklemler için benzer bir sonuç vardır.

Teorem 2. p. q ve f fonksiyonları x₀ noktasında analitik olsun. Bu taktirde

$\small y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$

ikinci mertebeden lineer diferansiyel denklemin her çözümü x₀ noktasında analitiktir ve böylece $\small \sum_{n=0}^{\infty }a_n(x-x_0)^n$ şeklinde bir kuvvet serisi gösterimine sahiptir.

Yüksek mertebeden lineer diferansiyel denklemler için benzer bir teorem vardır. Bu teoremdeki temel nokta lineer diferansiyel denklemin katsayıları x₀ noktasında analitik olduğunda x₀ civarında kuvvet serisi çözümlerini belirleyebiliriz ve en yüksek mertebeden türev teriminin katsayısı 1 dir.

Singüler Noktalar ve Frobenius Metodu

$\small P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$

homojen ikinci mertebeden diferansiyel denklemi olsun. Eğer $\small P(x_0)\neq 0$ ve P, Q ve R x₀ noktasında analitik fonksiyonlar ise x₀ noktasına (1) denkleminin bir adi noktası denir. Eğer x₀ bir adi nokta ise x₀ civarındaki bir aralık içinde P(x) ile (1) i bölebiliriz ve

$\small y''+p(x)y'+q(x)y=0$

elde edilir ve x₀ civarındaki kuvvet seri çözümleri elde edilebilir. Eğer x₀ noktası (1) denkleminin bir adi noktası değilse buna singüler nokta denir. Bir singüler noktayı bulunduran aralık içinde çözümün nasıl olduğunu verebilmek için aşağıdaki tanıma ihtiyacımız var. Bu iki tür singüler noktayı bize verir.

Tanım.

diferansiyel denklemi verilmiş olsun. Eğer x₀ bir singüler nokta ve $\small (x-x_0)[Q(x)/P(x)]$ ve $\small (x-x_0)^2[R(x)/P(x)]$ denklemlerinin her ikiside x₀ noktasında analitik ise x₀ ‘a regüer singüler nokta denir. Regüler singüler nokta olmayan singüler noktaya da bu diferansiyel denklemin bir irregüler singüler noktası adı verilir.

Frobenius Metodu

x₀ noktasının

$\small P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0$

diferansiyel denkleminin bir regüler singüler noktası olduğunu kabul edelim. Bu taktirde $\small c_0\neq 0$ olan en azından bir

$\small y=\sum_{n=0}^{\infty }c_n(x-x_0)^{n+r}$

Frobenius çözümü mevcuttur.

Ayrıca eğer $\small (x_0-R,x_0+R)$ aralığı içinde $\small (x-x_0)[Q(x)/P(x)]$ ve $\small (x-x_0)^2[R(x)/P(x)]$ fonksiyonlarının Taylor serileri yakınsak ise Frobenius seri çözümü de belki x₀ noktasının kendisi hariç bir aralık içinde yakınsaktır.

1- $\small {\color{DarkBlue} y'+ky=0}$ (k≠0 bir sabit olmak üzere) denklemini çözünüz.

Ücretli çözüme hemen ulaşmak için tıklayınız…

2- $\small {\color{DarkBlue} y''+k^2y=0}$ (k herhangi bir pozitif sabit) denklemini çözünüz.

Ücretli çözüme hemen ulaşmak için tıklayınız…

3- $\small {\color{DarkBlue} y''+xy'-y=0}$ denklemini çözünüz.

Ücretli çözüme hemen ulaşmak için tıklayınız…

4- $\small {\color{DarkBlue} y''+y'-2xy=0}$ diferansiyel denklemini çözünüz.

Ücretli çözüme hemen ulaşmak için tıklayınız…

5- $\small {\color{DarkBlue} y''+xy'-y=1+x^2}$ denklemini çözünüz.

Ücretli çözüme hemen ulaşmak için tıklayınız…

6- $\small {\color{DarkBlue} y''+xy'-y=e^{2x}}$ diferansiyel denklemini çözünüz.

Ücretli çözüme hemen ulaşmak için tıklayınız…

7- $\small {\color{DarkBlue} y''+e^xy=1}$ denklemini çözünüz.

Ücretli çözüme hemen ulaşmak için tıklayınız…

8- $\small {\color{DarkBlue} xy''-y'+y=0;~~y(1)=2,~~y'(1)=-4}$ başlangıç değer problemini çözünüz.

Ücretli çözüme hemen ulaşmak için tıklayınız…

9- $\small {\color{DarkBlue} y''-xy'+e^xy=4;~~y(0)=1,~~y'(0)=4}$ başlangıç değer probleminin sıfır noktası civarındaki seri çözümlerinin sıfırdan farklı ilk beş terimini bulunuz.

Ücretli çözüme hemen ulaşmak için tıklayınız…

10- α herhangi bir sabit olmak üzere Legendre diferansiyel denklemi

$\small {\color{DarkBlue} (1-x^2)y''-2xy+\alpha (\alpha +1)y=0}$

şeklindedir. Singüler noktalarını sınıflandırınız.

11- $\small {\color{DarkBlue} x^3(x-2)^2y''+5(x+2)(x-2)y'+3x^2y=0}$ diferansiyel denkleminin noktalarını sınıflandırınız.

Ücretli çözüme hemen ulaşmak için tıklayınız…

12- $\small {\color{DarkBlue} x^2y''+5xy'+(x+4)y=0}$ diferansiyel denkleminin bir çözümünü bulunuz.

Ücretli çözüme hemen ulaşmak için tıklayınız…

13- $\small {\color{DarkBlue} x^2y''+x(\frac{1}{2}+2x)y+(x-\frac{1}{2})y=0}$ diferansiyel denklemini çözünüz.

Ücretli çözüme hemen ulaşmak için tıklayınız…

14- $\small {\color{DarkBlue} x^2y''+5xy'+(x+4)y=0}$ diferansiyel denklemini çözünüz.

Ücretli çözüme hemen ulaşmak için tıklayınız…

15- $\small {\color{DarkBlue} x^2y''+x^2y'-2y=0}$ diferansiyel denklemini çözünüz.

Ücretli çözüme hemen ulaşmak için tıklayınız…

16- $\small {\color{DarkBlue} xy''-y=0}$ diferansiyel denklemini çözünüz.

Ücretli çözüme hemen ulaşmak için tıklayınız…

Diferansiyel Denklemler Kitabı Ücretli Soru Çözümleri 28