Diferansiyel Denklemler Kitabı Ücretli Soru Çözümleri 27

Diferansiyel Denklemler konusunda uzmanlaşmış bir ekibe sahip olan Ödevcim, size diferansiyel denklemler ve tüm matematik konularında soru çözümlerinde yardımcı olmak için burada. Dilerseniz tüm ödevinizi biz hazırlayalım, dilerseniz size dilediğiniz konuda özel ders verelim. Ödevcim ekibine ulaşmak çok kolay. Hemen whatsapp destek hattımızdan veya akademikodevcim@gmail.com mail adresimizden bizlere talebinizi iletebilir, ücretlerimiz hakkında fikir edinebilirsiniz.

Laplace Dönüşümü

$\small t\geq 0$ için f(t) nin tanımlı olduğu kabul edilsin. f’nin L[f] ile gösterilen Laplace dönüşümü, genelleştirilmiş integralin yakınsak olduğu

$\small L[f](s)=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

olarak tanımlanan bir fonksiyondur.

Burada vurgulanması gereken L[f] ‘nin bir fonksiyon olduğudur. Dolayısıyla Laplace dönüşümü f fonksiyonunu alır ve L[f] ile gösterilen yeni bir fonksiyon türetir. Zamanı t ile göstermek uygun olduğundan Laplace fonksiyonunun bağımsız değişkeni olarak f, g, h gibi küçük harfler kullanılır ve

$\small L[f]=F,~L[g]=G,~L[h]=H$

olarak gösterilir.

Ayrıca f’ye L’yi uygulayarak elde edilen dönüştürülmüş fonksiyonun değişkeni, s ile gösterilir. Yani, L[f] bağımsız değişkeni s ile gösterilen bir fonksiyondur ve L[f(s)] s’de değer alan fonksiyonu gösterir. Örneğin; L[f(s)] = 1/s ise L[f](1) = 1 ve L[f](π)=1/π’dir. Kısaca L[f]’i F ile gösterirsek küçük harflerin Laplace dönüşümlerini göstermekte büyük harf kullanarak F ile gösterilirse bu örnekte F(s)=1/s olur. Yani F(1) = 1 ve F(π)=1/π ‘dir. Genel olarak L[f](s) = F(s), L[g](s) = G(s), L[h](s) = H(s) yazılır.

Heaviside Fonksiyonu

Eğer $\small \lim_{t\rightarrow a^+}f(t)$ ve $\small \lim_{t\rightarrow a^-}f(t)$ her ikis de var, sonlu fakat farklı değerler ise fonksiyon a noktasında sıçrama süreksizliğine sahiptir denir. Böyle bir fonksiyonun grafiği a noktasında bir sıçramaya sahiptir.

Sıçrama süreksizliğinin büyüklüğü, a noktasındaki grafiğin bitim noktaları arasındaki boşluğun genişliğidir. Sıçrama süreksizliği olan fonksiyonlar arasında aşağıdaki fonksiyon önemli bir rol oynar. Heaviside fonksiyonu veya birim adım fonksiyonu adı verilen bu fonksiyon

$\small H(t)= \left\{\begin{matrix} 0~, & t< 0 ~~ise \\ 1~, & t\geq 0~~ise \end{matrix}\right.$

olarak tanımlanır.

Dirac Delta Fonksiyonu

Fizik ve mühendislikte birçok problem impuls kavramıyla verilir. Bunu aşağıdaki şekilde matematiksel olarak ifade edeceğiz. Önce herhangi bir pozitif ε sayısı için,

$\small \delta _{\varepsilon }(t)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\varepsilon } ~~,~~~~& 0\leq t< \varepsilon ~~ise \\ 0 ~~,~~~~& t< 0~~veya~~t\geq \varepsilon ~~ise \end{matrix}\right.$

alarak $\small \delta _\varepsilon$ fonksiyonunu tanımlayalım. $\small \delta _\varepsilon$ fonksiyonunun sağa doğru a birim kaydırılmışı olan $\small \delta _\varepsilon (t-a)$ fonksiyonudur.

$\small \delta _\varepsilon (t-a)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\varepsilon }~,~~ & 0\leq t-a< \varepsilon ~~(veya a\leq t< a+\varepsilon ) \\ 0~,~~ & t< a~~ veya~~t\geq a+\varepsilon \end{matrix}\right.$

dir. Heaviside fonksiyonu cinsinden,

$\small \delta _\varepsilon (t)=\frac{1}{\varepsilon }[H(t)-H(t-\varepsilon )]$

Böylece,

$\small \delta _\varepsilon (t-a)=\frac{1}{\varepsilon }[H(t-a)-H(t-a-\varepsilon )]$

dir. Bu taktirde,

$\small \begin{align*} L[\delta _\varepsilon (t-a)]&=\frac{1}{\varepsilon }[\frac{1}{s}e^{-as}-\frac{1}{s}e^{-(a+\varepsilon )s}]\\ &=\frac{e^{-as}(1-e^{-\varepsilon s})}{\varepsilon s} \end{align*}$

olduğu çıkar. $\small \delta (t)=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+}\delta _\varepsilon (t)$ olarak tanımlanır.