Diferansiyel Denklemler Soru Yardımı Alma 18

$Diferansiyel Denklemler Soru Yardımı Alma 18$

Diferansiyel Denklemler konusunda uzmanlaşmış bir ekibe sahip olan Ödevcim, size diferansiyel denklemler ve tüm matematik konularında soru çözümlerinde yardımcı olmak için burada. Dilerseniz tüm ödevinizi biz hazırlayalım, dilerseniz size dilediğiniz konuda özel ders verelim. Ödevcim ekibine ulaşmak çok kolay. Hemen whatsapp destek hattımızdan veya akademikodevcim@gmail.com mail adresimizden bizlere talebinizi iletebilir, ücretlerimiz hakkında fikir edinebilirsiniz.

Yüksek Mertebeli Diferansiyel Denklemler

y İhtiva Etmeyen Diferansiyel Denklemler

$F(x,y',y'')=0$

şeklindeki bir diferansiyel denklem y’=p yazılarak,

$F(x,p,p')=0$

şeklinde p ye göre birinci mertebeden bir diferansiyel denklem haline getirilebilir. Son denklemden, $p=\varphi (x,C)$ bulunabilmesi halinde

$y=\int pdx=\int \varphi (x,C)dx+C_1$

genel çözümü elde edilir. Şayet,

$F(x,y',y'')=0$

diferansiyel denklemi y yanında x i de ihtiva etmiyorsa yani,

$F(y',y'')=0$

şeklindeyse ve ayrıca, $y''=\varphi (y')$ yazılabiliyorsa,

$p' = \varphi (p) ~\Rightarrow ~\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x} = \varphi (p) ~\Rightarrow ~ dx = \frac{dp}{\varphi (p)}$

yardımıyla kolaylıkla genel çözümün parametrik koordinatlardaki ifadesi,

$dy=pdx=p\frac{dp}{\varphi (p)}$

den,

$x=\int \frac{dp}{\varphi (p)}+C~,~~ y=\int \frac{pdp}{\varphi (p)}+C_1$

şeklinde elde edilir. n. mertebeden $y^{(n)} = f (y^{(n-1)})$ şeklindeki diferansiyel denklemde $z = y^{(n-1)}$ yazılarak,

$x=\int \frac{dz}{f(z)}+C~,~~y^{(n-2)}=\int \frac{zdz}{f(z)}+C_1$

ve devam edilerek,

$\inline \small y^{(n-3)}=\int y^{(n-2)}dx=\int y^{(n-2)}\frac{dz}{f(z)} ~veya~ y^{(n-3)}=\int \frac{dz}{f(z)}.\int z\frac{dz}{f(z)}+C_1x+C_2$

elde edilir. Bu şekilde devam edilerek genel çözüm bulunur.

$\small F(x,y^{(n-1)},y^{(n)})=0$

şeklindeki bir diferansiyel denklem ise, $\small z=y^{(n-1)}$ yazılarak birinci mertebeden bir diferansiyel denkleme indirgenebilir.

x İhtiva Etmeyen Diferansiyel Denklemler

Bu tip denklemler genel olarak,

$\small G(y,y',y'')=0$

şeklindedir. y’ = p konularak,

$\small y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$

olduğundan,

$\small G(y,p,p\frac{dp}{dy}=0)$

diferansiyel denklemi elde edilir. Bu denklem çözülerek,

$\small p=g(C,y)$

elde edilmesi durumunda,

$\small dy=g(C,y)dx~\Rightarrow ~\frac{dy}{g(C,y)}=dx~\Rightarrow ~x=\int \frac{dy}{g(C,y)}+C_1$

bulunur. Fakat,

$G(y,p,p\frac{dp}{dy})=0$

denkleminden $y = \varphi (C,p)$ şeklinde çözüm elde edilmesi halinde,

$x = \int \frac{dy}{p}=\int \frac{\varphi ' (C,p)}{p}dp$

bulunur. Kısmi integrasyonla,

$u=1/p~~;~~du=-(1/p^2)dp\\ dv=\varphi '(C,p)dp~~;~~v=\varphi (C,p)$

konularak,

$x=\frac{y}{p}+\int \frac{ydp}{p^2}=\frac{y}{p}+\int \frac{\varphi (C,p)}{p^2}+C_1$

bulunur. Böylece genel çözüm parametrik şekilde,

$y=\varphi (C,p)~\Rightarrow ~y=\frac{y}{p}+\int \frac{\varphi (C,p)}{p^2}dp+C_1$

olarak bulunur.

$G(y,y',y'')=0$

diferansiyel denklemi x yanında y’ yü de ihtiva etmiyorsa yani,

$G(y,y'')=0$

şeklindeyse, $y''=f(y)$ yazılıp,

$y'=p~;~y''=p\frac{dp}{dy}~\Rightarrow ~p\frac{dp}{dy}=f(y)$

veya $pdp = f(y)dy$ denkleminden,

$\frac{p^2}{2}=\int f(y)dy+C~\Rightarrow ~p^2=2\int f(y)dy+C$

bulunur. O halde genel çözüm,

$x=\int \frac{dy}{p}=\int \frac{dy}{\sqrt{2\int f(y)dy+C}}+C_1$

şeklinde elde edilir.

$\Psi (y^{(n-2)},y^{(n-1)},y^{(n)})=0$

şeklindeki n. mertebeden diferansiyel denklemlerde ise,

$u= y^{(n-2)}~,~v=y^{(n-1)}$

dönüşümü uygulanırsa,

$y^{(n)}=\frac{dy^{(n-1)}}{dx}=\frac{dv}{dx}=\frac{dv}{du}\frac{du}{dx}=v.\frac{dv}{du}$

olacağından,

$\Psi (u,v,v\frac{dv}{du})=0$

birinci mertebeden bir diferansiyel denklem elde edilir. Bu denklem,

$v=\varphi (u,C)$

şeklinde çözülür.

x Değişkenine Göre Kapalı ve y, y’, y”, …, y⁽ⁿ⁾ lere Göre Aynı dereceden Homojen Olan Denklemler

$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$

diferansiyel denkleminde,

$F(x,\lambda y, \lambda y', \lambda y'',..., \lambda y^{(n)})=\lambda ^{m} F(x,y,...,y^{(n)})$

yazılabiliyorsa, F(x, y, y’, y”, …, y⁽ⁿ⁾) fonksiyonu y ve y nin türevlerine göre m. dereceden homojen bir foknsiyondur denir. Denkleme de yüksek mertebeden birinci tip homojen denklem adı verilir. Bu taktirde,

$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$

denklemi y^m ile bölünerek,

$f(x,y'/y,y''/y,...,y^{(n)}/y)=0$

denklemi elde edilir. Bu son denklemde, y’/ y = u dönüşümü yapılarak,

$\begin{align*} y' &=uy\\ y''&= u'y+uy'=u'y+u^2y \\ y'''&= u''y+u'y'+2uu'y+u^2y'\\ y'''&= (u''+3u'u+u^3)y \end{align*}$

şeklinde türevler hesap edilerek (n-1) inci mertebeden bir diferansiyel denklem elde edilmiş olur.

x ve dx’ e Göre Aynı Dereceden Homojen Diferansiyel Denklemler

$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$

diferansiyel denkleminde,

$F(\lambda x,y,\frac{1}{\lambda }y',\frac{1}{\lambda ^2}y'',...,\frac{1}{\lambda ^{(n)}}y^{(n)}) = \lambda ^{m}F(x,y,...,y^{(n)})$

yazılabiliyorsa denklem x ve dx’ e göre m. dereceden homojendir denir. Bu taktirde denklem,

$f(y,xy',x^2y'',...,x^{(n)},y^{(n)})=0$

şeklinde yazılabilir.

$\inline x=e^t~;~\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=e^{-t}\frac{dy}{dt}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}~;~\frac{\mathrm{d^2}y }{\mathrm{d} x^2}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left [ \frac{1}{x}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \right ]\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{x^2}\frac{\mathrm{d^2}y }{\mathrm{d} t^2}-\frac{1}{x^2}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$

şeklinde olacağından denklem,

$f(y,\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t},\frac{\mathrm{d^2}y }{\mathrm{d} t^2}-\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t},...)=0$

şeklini alır.

$u=dy/dt~;~\frac{\mathrm{d^2}y }{\mathrm{d} t^2}=\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} y}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=u\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} y}$

şeklinde olacağından denklem

$f(y,u,v,u\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} y}-u,...)=0$