Diferansiyel Denklemler Soru Çözümü Yaptırma 8

Diferansiyel Denklemler konusunda uzmanlaşmış bir ekibe sahip olan Ödevcim, size diferansiyel denklemler ve tüm matematik konularında soru çözümlerinde yardımcı olmak için burada. Dilerseniz tüm ödevinizi biz hazırlayalım, dilerseniz size dilediğiniz konuda özel ders verelim. Ödevcim ekibine ulaşmak çok kolay. Hemen whatsapp destek hattımızdan veya akademikodevcim@gmail.com mail adresimizden bizlere talebinizi iletebilir, ücretlerimiz hakkında fikir edinebilirsiniz.

İntegrasyon Çarpanı

$\large P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$

şeklindeki bir diferansiyel denklemde,

$\large \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

şartı gerçeklenmiyorsa bu denklem tam diferansiyel denklem değildir. Anca öyle bir μ(x,y) fonksiyonu bulunabilir ki bu fonksiyonla denklem çarpılınca tam diferansiyel denklem haline dönüşebilir. Bu şekilde bulunan μ(x,y) fonksiyonuna integrasyon çarpanı denir.

$\large \mu (x,y)P(x,y)dx+\mu(x,y)Q(x,y)dy=0$

diferansiyel denkleminde,

$\large \frac{\partial }{\partial y}(\mu P)=\frac{\partial }{\partial x}(\mu Q)$

bağıntısı sağlanacağından

$\inline \large \frac{\partial \mu}{\partial y}P+\frac{\partial P}{\partial y}\mu=\frac{\partial \mu}{\partial x}Q+\frac{\partial Q}{\partial x}\mu~~~~veya~~~~~P\frac{\partial \mu}{\partial y}-Q\frac{\partial \mu}{\partial x}=\mu(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})$

olacaktır. Son bulunan denklem birinci mertebeden kısmi türevli bir diferansiyel denklemdir. Çözümünü bulmak güç olduğundan bazı özel halleri göz önüne alınacaktır. ν=ν(x,y) olmak üzere μ=μ(ν) olsun.

$\large \frac{\partial \mu}{\partial y}=\frac{\partial \mu}{\partial \nu }.\frac{\partial\nu }{\partial y}~~~,~~\frac{\partial ~\mu}{\partial x}=\frac{\partial\mu}{\partial\nu}.\frac{\partial \nu}{\partial x}$

olduğundan yukarıdaki kısmi türevli diferansiyel denklem,

$\inline \large P\frac{\partial \mu}{\partial \nu}\frac{\partial \nu}{\partial y}-Q\frac{\partial \mu}{\partial \nu}.\frac{\partial \nu}{\partial x}=\mu(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})~~~veya~~~ \frac{\partial \mu}{\partial \nu}(P\frac{\partial \nu}{\partial y}-Q\frac{\partial \nu}{\partial x})=\mu(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})$

şeklinde yazılabilir. Buradan da

$\large (P\frac{\partial \nu}{\partial y}-Q\frac{\partial \nu}{\partial x})\mu'(\nu)=\mu(\nu)(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})$

veya

$\large \frac{\mu'(\nu)}{\mu(\nu)}= \frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}{P\frac{\partial \nu}{\partial y}-Q\frac{\partial \nu}{\partial x}}$

bulunur.

İntegrasyon Çarpanının Sadece x’in Bir Fonksiyonu Olması Hali

Bu halde ν=x olacağından $\large \frac{\partial \nu}{\partial x}=1,~~\frac{\partial \nu}{\partial y}=0$ şeklindedir. Bu durumda integrasyon çarpanını veren denklem,

$\large \frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=\frac{Q_x-P_y}{-Q}~~veya~~ln\mu(x)=-\int \frac{Q_x-P_y}{Q}dx$

denkleminden,

$\large \mu(x)=exp(-\int \frac{Q_x-P_y}{Q}dx)$

şeklinde elde edilir.

İntegrasyon Çarpanının Sadece y’nin Bir Fonksiyonu Olması Hali

$\large \frac{\partial \nu}{\partial x}=0, ~~ \frac{\partial \nu}{\partial y}=1$ olacağından integrasyon çarpanını veren denklem,

$\large \frac{\mu'(y)}{\mu(y)}=\frac{Q_x-P_y}{P} ~~veya~~~ln\mu(y)=\int \frac{Q_x-P_y}{P}dy$

denkleminden

$\large \mu(y)=exp(\int \frac{Q_x-P_y}{P}dy)$

şeklinde elde edilir.

İntegrasyon Çarpanının (x.y)’nin Fonksiyonu Olması Hali

Bu durumda ν=x.y olacağından,

$\large \frac{\partial \nu}{\partial x}=y~~ve~~\frac{\partial \nu}{\partial y}=x$

şeklindedir. İntegrasyon çarpanını veren denklem,

$\large \frac{\mu'(xy)}{\mu(xy)}=\frac{Q_x-P_y}{Px-Qy}~~veya~~ ln\mu(xy)=\int \frac{Q_x-P_y}{Px-Qy}d(xy)$

denkleminden

$\large \mu(xy)=exp(\int \frac{Q_x-P_y}{Px-Qy}d(xy))$

şeklinde elde edilir.

İntegrasyon Çarpanının (x+y) nin Bir Fonksiyonu Olması Hali

Bu durumda ν=x+y olduğundan, $\large \frac{\partial \nu}{\partial x}=1~~ve~~\frac{\partial \nu}{\partial y}=1$ şeklindedir. O halde integrasyon çarpanını veren denklem,

$\large \frac{\mu'(x+y)}{\mu(x+y)}=\frac{Q_x-P_y}{P-Q}~~veya~~ln\mu(x+y)=\int \frac{Q_x-P_y}{P-Q}d(x+y)$

denkleminden

$\large \mu(x+y)=exp(\int \frac{Q_x-P_y}{P-Q}d(x+y))$

şeklinde olacaktır.

İntegrasyon Çarpanının (X²+y²) nin Bir Fonksiyonu Olması Hali

Bu halde ν = x²+y² olduğundan, $\large \frac{\partial \nu}{\partial x}=2x~~ve~~\frac{\partial \nu}{\partial y}=2y$ olacağından,

$\inline \large \frac{\mu'(x^2+y^2)}{\mu(x^2+y^2)}=\frac{Q_x-P_y}{2yP-2xQ}~~veya~~ln\mu(x^2+y^2)=\int \frac{Q_x-P_y}{2Py-2Qx}d(x^2+y^2)$

$\large \mu(x^2+y^2)=exp(\int \frac{Q_x-P_y}{2Py-2Qx}d(x^2+y^2))$

şeklinde olacaktır.

İntegrasyon Çarpanının (X²-y²) nin Bir Fonksiyonu Olması Hali

Bu halde ν=x²-y² ve $\large \nu_x=2x~,~\nu_y=-2y$ olacağından,

$\inline \dpi{120} \large \frac{\mu'(x^2-y^2)}{\mu(x^2-y^2)}= \frac{Q_x-P_y}{-2Py-2Qx}~~veya~~\mu(x^2-y^2)=exp(\int \frac{P_y-Q_x}{2yP+2xQ}d(x^2-y^2))$

şeklinde olacaktır.

1- $\dpi{120} \large {\color{Golden} (2xy^4e^y+2xy^3+y)dx+(x^2y^4e^y-x^2y^2-3x)dy=0}$ diferansiyel denkleminin y ye bağlı integrasyon çarpanı olup olmadığını araştırınız. Denklemi tam diferansiyel denklem tipine dönüştürerek genel çözümünü bulunuz.