Diferansiyel Denklemler Soru Yardımı Alma 17

Diferansiyel Denklemler konusunda uzmanlaşmış bir ekibe sahip olan Ödevcim, size diferansiyel denklemler ve tüm matematik konularında soru çözümlerinde yardımcı olmak için burada. Dilerseniz tüm ödevinizi biz hazırlayalım, dilerseniz size dilediğiniz konuda özel ders verelim. Ödevcim ekibine ulaşmak çok kolay. Hemen whatsapp destek hattımızdan veya akademikodevcim@gmail.com mail adresimizden bizlere talebinizi iletebilir, ücretlerimiz hakkında fikir edinebilirsiniz.

Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözüm Metodları

Genel çözümü bulunamayan bir çok diferansiyel denklemin nümerik metotlarla bir tek çözümünü elde etmek mümkündür. Elektronik hesaplayıcılarla diferansiyel denklemlerin genel çözümleri bulunamayacağından, sayısal çözüm metodları geliştirilmiş olup pek çok uygulamada bu metodlar kullanılmaktadır. Burada bir başlangıç değeri problemi ortaya çıkmaktadır. Zira diferansiyel denklemin genel çözümündeki C sabiti o şekilde seçilmelidir ki eğri arzu edilen noktadan geçsin.

$y'=f(x,y)$

gibi bir diferansiyel denklemde, $x=x_0$ için $y(x_0)=y_0$ başlangıç şartını koşabiliriz.

Bu amaçla bir çok metot geliştirilmiştir.

Taylor Seri Metodu

$y'=f(x,y)$

diferansiyel denklemini ve $y(x_0)=y_0$ başlangıç şartlarını sağlayan çözümün bulunması için Taylor serisi kullanılabilir.

$y(x)=y(x_0)+\frac{y'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{y''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...$

şeklinde yazılabilir. Burada $y(x_0)$ başlangıç şartından ve $y'(x_0),~y''(x_0),~...$ ise diferansiyel denklemde ard arda türev alınarak bulunacaktır. O halde,

$\begin{align*} y(x_0)&=y_0\\ y'(x_0)&=f(x_0,y_0)\\ y''(x_0)&=f_x(x_0,y_0)+f_y(x_0,y_0)y'(x_0,y_0)\\ &= f_x(x_0,y_0)+f_y(x_0,y_0)f(x_0,y_0) \end{align*}$

şeklinde ard arda türevler alınıp Taylor serisinde yerine konulursa verilen diferansiyel denklemin sözü edilen bşlangıç şartını sağlayan yaklaşık çözümü bulunur.

UYARI: Elde edilen serinin yakınsak olması için diferansiyel denklemdeki f(x,y) fonksiyonunun istenilen mertebeye kadar türevinin olabilmesi gerekmektedir. Yani fonksiyon analitik olmalıdır.

Yüksek mertebeden diferansiyel denklemler birinci mertebeden bir diferansiyel denklem sistemine indirgenebildiklerinden bu metot yüksek mertebeden diferansiyel denklemlere de uygulanabilir.

Picard Ardışık Yaklaşımlar Metodu

$y(x_0)=y_0$ başlangıç şartını sağlayan y’=f (x,y) diferansiyel denklemi göz önüne alınıyor. f(x,y) sürekli olmak şartıyla yukarıda verilen başlangı şartı ve diferansiyel denklem

$y(x)=y_0+\int_{x_0}^{x} d[u,y(u)]du$

integral denklemine denktir. Bu metodda izlenecek yol şudur. Önce,

$y=y(x_0)=y_0$

farzedilerek bir sonraki değer

$y_1(x)=y_0+\int_{x_0}^{x}f(u,y_0)du$

şeklinde bir önceki değer kullanılarak bulunur. Aynı şekilde,

$y_n(x)=y_0+\int_{x_0}^{x}f[u,y_{n-1}(u)]du$

elde edilir. Böylece,

$y_1(x),~y_2(x),...,y_n(x),...$

fonksiyon dizisi elde edilir. Diferansiyel denklemlerin varlık teoremi gereğince bu yaklaşımlar dizisi $y'=f(x,y)$ diferansiyel denkleminin çözümü olan $y(x)$ fonksiyonuna yakınsar. Yani

$\lim_{n\rightarrow \infty}y_n(x)=y(x)$

şeklindedir. Bu metot diferansiyel denklem sistemlerine rahatlıkla uygulanabilir. Aynı şekilde yüksek mertebeden diferansiyel denklemler de birinci mertebeden denklem sistemlerine indirgenebildiklerinden, Picard metodu yüksek mertebeden diferansiyel denklemlere de uygulanabilir.

UYARI: Picard iterasyon metodunda ard arda iki adımda değişmeyen terimler, diğer adımlarda da değişmezler ve bunlar analitik çözümde gözükürler.

Runge-Kutta Metodu

Diferansiyel denklemlerin sayısal çözüm metodları içerisinde çok kullanılan ve tarihi önemi bulunan bir metot da Runge-Kutta metodudur. Bu metot ile başlangıç değer problemlerinin çözümünün birkaç değeri bulunur. Fakat fazla hesap yapılarak çözüm için istenilen sayıda değer elde edilebilir. $y(x_0)=y_0$ başlangıç şartı ve $y'=f(x,y)$ diferansiyel denklemi ile verilmiş bulunan başlangıç değer problemini Runge-Kutta metodu ile çözmek için x değişkenine h artması verilir. Buna karşılık y nin alacağı k artması k₁, k₂, k₃ ve k₄ ara değişkenleri aşağıdaki gibi hesaplanarak bulunur;

$\begin{align*} k_1&=hf(x_0,y_0)\\ k_2&=h f(x_0+h/2,~y_0+k_1/2) \\ k_3&= h f(x_0+h/2,~y_0+k_2/2) \\ k_4&= hf(x_0+h,~y_0+k_3) \end{align*}$

şeklindedir. y nin k artmasi ise,

$k = \frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$

ile bulunacaktır. Bulunan k değeri ile

$x_1 = x_0+h~~,~~y_1=y_0+k$ (x₁, y₁) çifti elde edilir. Böylece çözüm için yeterli sayıda değer çiftleri elde edilir.

UYARI: Şayet f yalnız x in fonksiyonu ise yani, y’=f(x) diferansiyel denklemin yaklaşık çözümü isteniyorsa k değeri,

$k = \frac{h}{6}[f(x_0)+4f(x_0+h/2)+f(x_0+h)]$

halini alır. Dikkat edilirse bu formül y’=f(x) denklemi için (x₀, x₀ + h) aralığında Simpson formülünün uygulanmasıdır.

Runge-Kutta metodu da diferansiyel denklem sistemleri ve yüksek mertebeden diferansiyel denklemlere uygulanabilir.

UYARI: Yukarıda anlatılan dördüncü mertebeden Runge-Kutta metodudur. Benzer yolla k₁, k₂, k₃ gibi değerler

$\begin{align*} k_1&=hf(x,y)\\ k_2&=hf(x+mh,~y+mk_1)\\ k_3&=hf(x+nh,~y+pk_1+qk_2) \end{align*}$

şeklinde kullanılarak üçüncü mertebeden bir Runge-Kutta eşitliği kurulabilir.

1- ${\color{Purple} y'=\frac{2-y^2}{5x}}$ diferansiyel denkleminin y(4)=1 başlangıç şartını sağlayan çözümünü bulunuz. Yani diferansiyel denklemin öyle bir çözümünü bulunuz ki bunun eğrisi (4,1) noktasından geçsin.