Diferansiyel Denklemler Soru Yardımı Alma 16

Diferansiyel Denklemler konusunda uzmanlaşmış bir ekibe sahip olan Ödevcim, size diferansiyel denklemler ve tüm matematik konularında soru çözümlerinde yardımcı olmak için burada. Dilerseniz tüm ödevinizi biz hazırlayalım, dilerseniz size dilediğiniz konuda özel ders verelim. Ödevcim ekibine ulaşmak çok kolay. Hemen whatsapp destek hattımızdan veya akademikodevcim@gmail.com mail adresimizden bizlere talebinizi iletebilir, ücretlerimiz hakkında fikir edinebilirsiniz.

Diferansiyel Denklemlerde Değişken Dönüşümü

Bir çok diferansiyel denklemin genel çözümü bilinen metotlar yardımıyla bulunamaz. Yani anlatılan tip diferansiyel denklemlere uymayan bir çok diferansiyel denklem mevcuttur. Ancak bunlardan bazılarının genel çözümü değişken dönüşümleri yapılmak suretiyle bulunabilir. Yani verilen,
$\large f(x,y,y')=0$

diferansiyel denkleminde,

$\large x=x(u,v)~~ve~~y=y(u,v)$

dönüşümü yapılarak denklem, çözüm metodları bilinen daha basit diferansiyel denkleme dönüştürülebilir. Burada,

$\large \mathrm{d} x = \frac{\partial x}{\partial u} \mathrm{d} u + \frac{\partial x}{\partial v}\mathrm{d} v~~ve~~\mathrm{d} y = \frac{\partial y}{\partial u} \mathrm{d} u + \frac{\partial y}{\partial v} \mathrm{d} v$

olacağından,

$\large y'=\frac{\frac{\partial y}{\partial u}\mathrm{d} u + \frac{\partial y}{\partial v}\mathrm{d} v }{\frac{\partial x}{\partial u}\mathrm{d} u + \frac{\partial x}{\partial v}\mathrm{d} v }~~veya~~ u=u(v), ~\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} v}=u'$

farzedilerek,

$\large y'=\frac{y_{u}u'+y_v}{x_{u}u'+x_v}$

yazılabilir. O halde verilen denklem,

$\large f\left [ x(u,v),y(u,v),\frac{y_{u}u'+y_v}{x_{u}u'+x_v}\right ]=0$

şeklinde u, v, u’ ye bağlı olur.

UYARI: Dönüşüm,

$x=\varphi (u)~~;~~dx = \varphi '(u)du~~ve~~y=\theta (v)~~;~~dy=\theta '(v)dv$

şeklinde sadece u’ nun veya sadece v’ nin fonksiyonu olarak da gerçekleştirilebilir. Yukarıdaki dönüşümde,

$\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=J(u,v)\neq 0$

olmalıdır.

y=f(x,p) Tipindeki Diferansiyel Denklemler

Birinci mertebeden diferansiyel denklemler,

$y=f(x,y')$

şeklinde yazılabiliyorsa x’ e göre türev alınarak dp / dx ‘ e göre birinci dereceden bir diferansiyel denklem elde edilir. Şöyle ki, y’=p olmak üzere,

$y= f(x,p)~~;~~y'=p=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial x}$

yazılabilir. Son denklemde y gözükmediğinden genel çözüm,

$p=\varphi (x,C) ~~veya~~ x=\Psi (p,C)$

şeklindedir. Bu son denklem ve verilen diferansiyel denklem arasında p yok edilerek genel çözümün kartezyen koordinatlarındaki ifadesi elde edilir.

x=f(y,p) Tipindeki Diferansiyel Denklemler

Birinci mertebeden ve yüksek dereceden bir diferansiyel denklem,

$x=f(y,y')$

şeklinde yazılabiliyorsa y’ ye göre türev alınarak dp / dy‘ye göre birinci dereceden bir diferansiyel denklem elde edilir. Şöyle ki, y’=p olmak üzere,

$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y}=\frac{1}{p}=\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial y}$

olur. Bu denklemin çözümü;

$\varphi (y,p,C) = 0$

şeklindedir. Son denklem ile verilen denklem arasınd p elimine edilerek genel çözümün kartezyen koordinatlardaki ifadesi bulunmuş olur.

x veya y İhtiva Etmeyen Diferansiyel Denklemler

(Değişkenlerden Birini İhtiva Etmeyen Diferansiyel Denklemler)

Bu tip denklemler y F(x,y’)=0 şeklinde y’ yi içermeyen veyahut, G(y,y’)=0 şeklinde x’ i içermeyen diferansiyel denklemlerdir.

$F(x,p)=0$

denkleminde p çözülebilirse, p=f(x) yazılabilir. Buradan da genel çözüm,

$y-C = \int f(x)dx$

şeklinde bulunabilir. Bazen, F(x,p)=0 denkleminden x çözülerek,

$x=\varphi (p)~~;~~dx=\varphi '(p)dp$

yazılabilir. Bu durumda genel çözüm,

$y'=p~~\Rightarrow ~~y-C=\int pdx=\int p\varphi '(p)dp$

şeklinde parametrik olarak bulunur. Daha sonra parametre yok edilerek kartezyen koordinatlardaki denklem elde edilir. Benzer şekilde,

$G(y,p)=0$

denkleminde p çözülebiliyorsa, p=g(y) yazılabilir. Buradan da

$\frac{dy}{\mathrm g(y)} = dx~~ \Rightarrow ~~ x-C = \int \frac{dy}{\mathrm g(y)}$

şeklinde genel çözüm bulunabilir. Şayet, G(y,p)=0 denklemi y’ ye göre y=Θ (p) şeklinde çözülebiliyorsa, bu taktirde,

$dy =\theta '(p)dp$

olacağından genel çözüm

$\frac{dy}{dx}=p~~\Rightarrow ~~dx=dy/p~~\Rightarrow ~~x-C=\int \frac{\theta ' (p)dp}{p}$