Diferansiyel Denklemler Kitabı Ücretli Soru Çözümleri 25

Diferansiyel Denklemler konusunda uzmanlaşmış bir ekibe sahip olan Ödevcim, size diferansiyel denklemler ve tüm matematik konularında soru çözümlerinde yardımcı olmak için burada. Dilerseniz tüm ödevinizi biz hazırlayalım, dilerseniz size dilediğiniz konuda özel ders verelim. Ödevcim ekibine ulaşmak çok kolay. Hemen whatsapp destek hattımızdan veya akademikodevcim@gmail.com mail adresimizden bizlere talebinizi iletebilir, ücretlerimiz hakkında fikir edinebilirsiniz.

Diferansiyel Denklem Sistemleri

Bir x bağımsız değişkeni ile bunun iki veya daha fazla fonksiyonu ve bu fonksiyonların x ‘e göre türevlerinden meydana gelen sisteme “Diferansiyel Denklem Sistemi” denir. Şayet x bağımsız değişkenin y,z,w,… gibi n tane fonksiyonu bilinmeyen olarak sistemde bulunuyorsa n bilinmeyenli diferansiyel denklem sistemi söz konusudur. Böyle bir sistemin integrasyonu sistem n. mertebeden bir tek denkleme indirgenmek suretiyle yapılacaktır.

İki bilinmeyen fonksiyon ihtiva eden bir sistem,

$\small \begin{align*} F(x,y,y',y'',.....,z,z',z'',....)&=0\\ G(x,y,y',y'',.....,z,z',z'',....)&=0 \end{align*}$

şeklinde gösterilebilir. Veya çoğunlukla bağımsız değişken t olarak alınırsa $\small L_1,L_2,L_3,L_4,t$ değişkenine göre lineer diferansiyel operatörler olmak üzere,

$\small \begin{align*} L_1x+L_2y&=f_1(t)\\ L_3x+L_4y&=f_2(t) \end{align*}$

ile de $\small x(t) ~ve~y(t)$ fonksiyonlarını ihtiva eden bir sistem gösterilebilir.

Diferansiyel Denklem Sistemlerinin Çözümü

x bağımsız değişkenin y ve z gibi iki fonksiyonunu ihtiva eden

$\small \begin{align*} F(x,y,z,y',z')&=0\\ G(x,y,z,y',z')&=0 \end{align*}$

şeklindeki birinci mertebeden bir diferansiyel denklem sistemini göz önüne alalım. Böyle bir sistemi çözmek, türev alınarak bu sistemi tek bir diferansiyel denkleme indirgemekle mümkün olmaktadır. Şöyle ki;

Verilen sistemde x’e göre türev alınırsa,

$\small \begin{align*} F_x+F_y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+F_z\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x}+F_{y'}\frac{\mathrm{d} y'}{\mathrm{d} x}+F_{z'}\frac{\mathrm{d} z'}{\mathrm{d} x}&=0\\ G_x+G_y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+G_z\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x}+G_{y'}\frac{\mathrm{d} y'}{\mathrm{d} x}+G_{z'}\frac{\mathrm{d} z'}{\mathrm{d} x}&=0 \end{align*}$

veya

$\small \begin{align*} F_x+F_yy'+F_zz'+F_{y'}y''+F_{z'}z''&=0\\ G_x+G_yy'+G_zz'+G_{y'}y''+G_{z'}z''&=0 \end{align*}$

elde edilir. Böylece verilen denklem sistemi ile son denklemlerden $\small z,z',z''$ değerleri elimine edilerek,

$\small f(x,y,y',y'')=0$

ikinci mertebeden bir diferansiyel denklem ele geçer. Bu denklem bilinen metodlarla çözülerek

$\small f_1(x,y,C_1,C_2)=0$

veya

$\small y=f_2(x,C_1,C_2)$

genel integrali elde edilir. Buradan y ve y’ bulunup verilen sistemde yerine konularak bu kez,

$\small F_1(x,z,C_1,C_2)=0~~veya~z=F_2(x,C_1,C_2)$

bulunur.

n. Mertebeden Lineer Bir Diferansiyel Denklemin Bir Sisteme Dönüştürülmesi

$\small F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0$

lineer diferansiyel denklemini göz önüne alalım. Bu denklem n. mertebeden olduğundan,

$\small y^{(n)}=f(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)})$

şeklinde yazılabilir. Bu diferansiyel denklemde,

$\small y=y_1~;~y'=y_1'=y_2~;~y''=y_2'=y_3~;~,\cdots,y^{(n-1)}=y'_{n-1}=y_n$

dönüşümü yapılırsa,

$\small y^{(n)}=f(x,y_1,y_2,\cdots,y_n)$

olacağından,

$\small \begin{align*} \frac{\mathrm{d} y_1}{\mathrm{d} x}&=y_2\\ \frac{\mathrm{d} y_2}{\mathrm{d} x}&=y_3\\ \vdots \\ \frac{\mathrm{d} y_{n-1}}{\mathrm{d} x}&=y_n\\ \frac{\mathrm{d} y_n}{\mathrm{d} x}&=f(x,y_1,y_2,\cdots,y_n) \end{align*}$

denklem sistemi elde edilir.

Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri

$\small a_{ij}(i=1,2,\cdots,n~~ve~~j=1,2,\cdots,n)~~ve~~T_i(i=1,2,\cdots,n)$ katsayıları x bağımsız değişkeninin verilmiş sürekli fonksiyonları olmak üzere,

$\small \begin{align*} \frac{\mathrm{d} y_1}{\mathrm{d} x}+a_{11}y_1+a_{12}y_2+a_{13}y_3+\cdots+a_{1n}y_n&=T_1(x)\\ \frac{\mathrm{d} y_2}{\mathrm{d} x}+a_{21}y_1+a_{22}y_2+a_{23}y_3+\cdots+a_{2n}y_n&=T_2(x)\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ \frac{\mathrm{d} y_n}{\mathrm{d} x}+a_{n1}y_1+a_{n2}y_2+a_{n3}y_3+\cdots+a_{nn}y_n&=T_n(x)\\ \end{align*}$

şeklindeki denklem sisteminde bilinmeyen fonksiyonlar $\small (y_1,y_2,\cdots,y_n)$ ve bunların türevleri lineer olduğundan sistem lineer bir sistemdir. Denklem sayısı görüldüğü gibi bilinmeyen fonksiyon sayısı kadardır. Şayet bu lineer denklem sisteminde karşı tarafta bulunan $\small T_i(i=1,2,\cdots,n)$ fonksiyonları özdeş olarak sıfır iseler sisteme ikinci tarafsız veya homojen lineer denklem sistemi denir. Aksi halde sistem homojen olmayan lineer denklem sistemidir. Şayet $\small a_{ij}(i=1,2,\cdots,n)$ ve $\small (j=1,2,\cdots,n)$ katsayıları x’in fonsiyonu olmayıp sabit iseler sisteme sabit katsayılı lineer denklem sistemi denir. Aksi halde sistem değişken katsayılır denir.

1- $\small {\color{DarkRed} \begin{align*} y''-9y+z'+3z&=e^{-x}\\ y'+y-z'&=x \end{align*}}$ diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü bulunuz.