Diferansiyel Denklemler Kitabı Ücretli Soru Çözümleri 26

$Diferansiyel Denklemler Kitabı Ücretli Soru Çözümleri 26$

Diferansiyel Denklemler konusunda uzmanlaşmış bir ekibe sahip olan Ödevcim, size diferansiyel denklemler ve tüm matematik konularında soru çözümlerinde yardımcı olmak için burada. Dilerseniz tüm ödevinizi biz hazırlayalım, dilerseniz size dilediğiniz konuda özel ders verelim. Ödevcim ekibine ulaşmak çok kolay. Hemen whatsapp destek hattımızdan veya akademikodevcim@gmail.com mail adresimizden bizlere talebinizi iletebilir, ücretlerimiz hakkında fikir edinebilirsiniz.

Diferansiyel Denklem Sistemlerinin Matris Yardımıyla Çözümü

Birinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri

Yüksek mertebeden denklemleri bulunduran sistemler, birinci mertebeden denklemleri bulunduran daha büyük sistemlere dönüştürülebilirdir.

$\small \begin{align*} \frac{\mathrm{d} x_1}{\mathrm{d} t}&=F_1(t,x_1,\cdots,x_n)\\ \frac{\mathrm{d} x_2}{\mathrm{d} t}&=F_2(t,x_1,\cdots,x_n)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\\ \frac{\mathrm{d} x_n}{\mathrm{d} t}&=F_n(t,x_1,\cdots,x_n) \end{align*}$

diferansiyel denklem sistemini göz önüne alalım. Burada t bağımsız değişkendir ve sistemdeki diferansiyel denklemleri aynı anda sağlayan;

$\small x_1(t),\cdots,x_n(t)$

fonksiyonları çözümdür, bunlar bulunacaktır. Bu sistem için başlangıç şartları $\small t_0,x_1^0,\cdots,x_n^0$ verilen sayılar olmak üzere;

$\small x_1(t_0)=x_1^0,~x_2(t_0)=x_2^0,\cdots,~x_n(t_0)=x_n^0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$

şeklindedir.

(1) sistemi ve (2) başlangıç şartları bir başlangıç değer problemini oluşturur. Böyle bir problem için bir temel varlık -teklik sonucu vereceğiz. (n+1) boyutlu Rⁿ⁺¹ uzayında $\small t,x_1,\cdots,x_n$ eksenlerine sahip bir açık dörtgensel paralel yüzlü ifadesiyle, koordinatları $\small \alpha < t< \beta$ $\small a_1< x_1< b_1,\cdots,a_n< x_n< b_n$ eşitsizliğini sağlayan $\small (t,x_1,\cdots,x_n)$ noktalarını kastediyoruz. Bu küme reel doğru üzerindeki $\small a< t< b$ aralığı kavramını veya düzlemdeki $\small a< x< b,~c< y< d$ bir açık dikdörtgen kavramını genelleştirir. Burada açık kelimesi ile uç noktaların veya sınır noktaların kümeye ait olmaması kastediliyor.

Başlangıç Değer Problemlerinde Varlık Teklik

Kabul edelim ki $\small F_1,\cdots,F_n$ fonksiyonları n+1 tane $\small t,x_1,\cdots,x_n$ değişkenelerine bağlı fonksiyonlar olsun. Ayrıca $\small F_1,\cdots,F_n$ fonksiyonlarının her biri ve birinci mertebeden kısmî türevleri $\small t,x_1,\cdots,x_n$ eksenlerine sahip (n+1) boyutlu uzaydaki bir K açık dörtgensel paralel yüzlü içinde sürekli olsun. Aynı zamanda $\small (t_0,x_1^0,\cdots,x_n^0)$ noktası K kümesi içinde olsun. Bu taktirde (1) sistemi ve (2) başlangıç şartlarından meydana gelen başlangıç değer problemi $\small (t_0-h,t_0+h)$ aralığı içinde bir tek;

$\small x_1=\varphi _1(t),~x_2=\varphi _2(t),\cdots,~x_n=\varphi _n(t)$

çözümüne sahiptir.

Uygulamalarda bu teoremin bir özel durumu göz önüne alınır. Her bir diferansiyel denklemin lineer ve birinci mertebeden olduğu,

$\small \begin{align*} x_1^1(t)&=a_{11}(t)x_1(t)+a_{12}(t)x_2(t)+\cdots+a_{1n}x_n(t)+g_1(t)\\ x_2^1(t)&=a_{21}(t)x_1(t)+a_{22}(t)x_2(t)+\cdots+a_{2n}x_n(t)+g_2(t)\\ \vdots ~&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\vdots\\ x_n^1(t)&=a_{n1}(t)x_1(t)+a_{n2}(t)x_2(t)+\cdots+a_{nn}x_n(t)+g_n(t)\\ \end{align*}$

lineer sistemini göz önüne alalım. Bu sistemi matris formunda yazalım.

$\small X(t)=\begin{bmatrix} x_1(t)\\ \vdots \\ x_n(t) \end{bmatrix},~G(t)=\begin{bmatrix} g_1(t)\\ \vdots \\ g_n(t) \end{bmatrix}~~ve~~A(t)=\begin{bmatrix} a_{11}(t) &\cdots & a_{1n}t\\ \vdots &\cdots & \vdots \\ a_{n1}t&\cdots &a_{nn}(t) \end{bmatrix}$

alırsak lineer denklem sistemini $\small X^1=AX+G$ şeklinde yazabiliriz. Burada X, A ve G t’ye bağlı birer matris fonksiyonlarıdır. Örnek olarak:

$\small \begin{align*} x_1^1&=x_1+tx_2+cos(t)\\ x_2^1&=t^3x_1-e^tx_2+1-t \end{align*}$

sistemini alırsak $\small X=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}~~~~A=\begin{bmatrix} 1 &t \\ t^3 & -e^t \end{bmatrix}~~ve~~G=\begin{bmatrix} cost\\ 1-t \end{bmatrix}$ olmak üzere $\small X^1=AX+G$ sistemine homojendir denir. Bu durumda, J’deki her t için

G(t) = 0 dır ve sistem $\small X^1=AX$ olur.

Eğer J deki bazı t ler için g_j(t) sıfırdan farklı ise (1) sistemi homojen olmayandır. Başlangıç değerleri;

$\small X(t_0)=\begin{bmatrix} x_1^0\\ x_2^0\\ \vdots \\ \vdots \\ x_n^0 \end{bmatrix}$

nx1 tipinden bir matrisi olarak yazılabilir. Uygun gösterim için genellikle sağ taraftaki matrisi X⁰ ile göstereceğiz ve başlangıç şartları $\small X(t_0)=X^0$ olarak yazılır. X⁰ matrisi t₀ daki X(t) nin verilen sabit değerine bağlı olan nx1 tipinden bir matristir.

Teorem1. Kabul edelim ki a_ij ve g fonksiyonları t₀ ı bulunduran bir açık J aralığı üzerinde sürekli olsun. Bu taktirde;

$\small X^1=AX+G;~X(t_0)=X^0$

lineer başlangıç değer probleminin J’deki her t için tanımlı tek bir çözümü vardır.

Şimdi n’inci mertebeden n lineer diferansiyel denklemleriyle yakından ilgili olan $\small X^1=AX+G$ sistemine bakacağız. Önce homojen sistemlere bakalım.

X¹ = AX Homojen Lineer Sistemi

X¹ = AX sisteminin çözümlerinin sonlu sayıdaki lineer kombinasyonunun da bir çözüm olduğunu göstermek kolaydır.

Teorem2. X¹ = AX homojen lineer sisteminin çözümlerinin $\small \Phi _1,\cdots,\Phi _k$ olduğunu kabul edelim. Bu taktirde $\small \Phi _1,\cdots,\Phi _k$ nın herhangi bir lineer kombinasyonu da bir çözümdür. Teorem 1 den X¹ = AX sisteminin bütün çözümlerinin kümesi, çözümlerin alışılmış toplama ve bir sabit ile çözümün çarpılması tanımları ile bir vektör uzayı yapısına sahiptir.

1- $\small {\color{Purple} \begin{align*} x_1^1&=x_1-4x_2\\ x_2^1&=x_1+5x_2 \end{align*}}$ sistemini çözünüz.