Diferansiyel Denklemler Kitabı Ücretli Soru Çözümleri 22

Diferansiyel Denklemler konusunda uzmanlaşmış bir ekibe sahip olan Ödevcim, size diferansiyel denklemler ve tüm matematik konularında soru çözümlerinde yardımcı olmak için burada. Dilerseniz tüm ödevinizi biz hazırlayalım, dilerseniz size dilediğiniz konuda özel ders verelim. Ödevcim ekibine ulaşmak çok kolay. Hemen whatsapp destek hattımızdan veya akademikodevcim@gmail.com mail adresimizden bizlere talebinizi iletebilir, ücretlerimiz hakkında fikir edinebilirsiniz.

Sabit Katsayılı Lineer Homojen Olmayan Diferansiyel Denklemler

Sağ tarafsız denklemin genel çözümü y_h ve sağ taraflı denklemin bir özel çözümü $\small y_p =\varphi (x)$ olmak üzere,

$\small a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_ny=Q(x)$

sağ taraflı sabit katsayılı lineer denklemin genel çözümü,

$\small y=y_h+y_p$

şeklindedir. Sağ taraflı denklemin özel bir çözümü olan $\small y_p=\varphi (x)$ i ise genellikle Lagrange sabitlerin değişimi metodu ile bulmak mümkündür. Ancak karşı tarafın durumuna göre çoğunlukla belirsiz katsayılar metodu kullanılır.

Belirsiz Katsayılar Metodu

Bu metot karşı taraftaki Q(x) fonksiyonunun xⁿ , e^x , sinx , cosx veya bunların sonlu lineer kombinozonları şeklinde olması durumunda kullanılır. Bu halleri teker teker inceleyelim.

$\small Q(x)=A_0x^m+A_1x^{m-1}+\cdots+A_m$ şeklinde m. dereceden bir polinom ise bu durumda verilen denklemin homojen kısmının karakteristik denklemine bakılır. Şayet denklemin $\small r_s=0$ gibi bir kökü yoksa sağ taraflnın bir özel çözümü, $\small y_p= b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdots+b_m$

şeklinde aranır. Ard arda n kez türev alıp $\small y_p, y_p',...,y_p^{(n)}$ elde edilip sağ taraflı denklemde yerine konur. Özdeşlikten yararlanılarak aynı dereceli terimlerin eşitliğinden $\small b_0,b_1,\cdots,b_n$ ler hessaplanır. Böylece y_p çözümü elde edilmiş olur.

Şimdi sol tarafın bazı köklerinin sıfır olması durumunda özel çözümün nasıl elde edileceğini görelim. Denklem,

$\small a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_ny=Q(x)$

şeklinde ve sağ taraf da,

$\small Q(x)=A_0x^m+A_1x^{m-1}+\cdots+A_{m-1}x+A_m$

şeklinde olsun. Ayrıca homojen denklemin k tane kökü sıfır olsun. Bu durumda özel çözümü,

$\small y_p=b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdots+b_m$

şeklinde aramak hatalı olur. Sıfır k katlı kök olduğundan,

$\small y_p=x^k(b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdots+b_m)$

şeklinde özel çözümü aramak gerekir.

b. $\small Q(x)= A.e^{mx}$ şeklinde üstel bir fonksiyon ise bu durumda yine homojen denklemin köklerinden bir veya birden fazlası m değilse sağ taraflı denklemin y_p gibi bir özel çözümü,

$\small y_p=B.e^{mx}$

şeklinde aranır. Yine ard arda n kez türev alınıp, verilen denklemde yerine konularak B katsayısı özdeşlikten bulunur. Bulunan B katsayısı yerine yazılarak y_p özel çözümü bulunmuş olur. Genel olarak,

$\small Q(x)=e^{mx}(A_0x^q+A_1x^{q-1}+\cdots+A_q)$

şeklinde üstel bir fonksiyonla q. dereceden polinom çarpımı şeklindeyse bu durumda homojen denklemin karakteristik denkleminin köklerinden hiçbiri m ‘e eşit olmadığı sürece y_p özel çözümü

$\small y_p=e^{mx}(b_0x^q+b_1x^{q-1}+\cdots+b_q)$

şeklinde aranacaktır.

Şimdi $\small Q(x)=Ae^{mx}$ olmak üzere karakteristik denklemin bir veya birden çok kökleri m olsun. Bu durumda özel çözümü $\small y_p=B.e^{mx}$ şeklinde aramak doğru omaz. Karakteristik denklemin k tane kökü m ye eşit ise özel çözüm,

$\small y_p=B.x^k.e^{mx}$

şeklinde aranmalıdır. Daha genel olarak,

$\small Q(x)=e^{mx}(A_0x^q+A_1x^{q-1}+\cdots+A_q)$

şeklinde ise ve karakteristik denklemin k tane kökü m ise y_p özel çözümü,

$\small y_p=e^{mx}x^k(b_0x^q+b_1x^{q-1}+\cdots+b_q)$

şeklinde aranmalıdır.

c. Sağ taraf $\small A_1sin(\alpha x+\beta ),~B_1cos(\alpha x+\beta )$ veya $\small A_1sin(\alpha x+\beta )+B_1cos(\alpha x+\beta )$ şeklinde trigonometrik fonksiyonlardan ibaret ise y_p özel çözümü şu şekilde bulunacaktır.

$\small Q(x)=A_1sin\beta x,~ Q(x)=B_1cos\beta x~~veya~~Q(x)=A_1sin\beta x+B_1cos\beta x$

şeklinde özel çözüm aranacaktır. Burada R₁(x) ve R₂(x) polinomları m. derecedendir. Fakat karakteristik denklemin α+iβ gibi kompleks k tane katlı kökü varsa,

$\small y_p=x^ke^{ax}[R_1(x)cos\beta x+R_2(x)sin\beta x]$

şeklinde özel çözüm aranacaktır.

UYARI: Şayet Q(x) fonksiyonu yukarıda anlatılan tür fonksiyonları bir kaçının veya tümünün toplamı şeklindeyse özel çözümler teker teker bulunup toplamları alınacaktır. Yani,

$\small Q(x)=Q_1(x)+Q_2(x)+\cdots+Q_s(x)$

şeklindeyse, Q_i nin özel çözümü $\small y_{p_i}$ olmak üzere,

$\small y_p=\sum y_{p_i}$

şeklinde bulunacaktır.

UYARI: Şayet Q(x) fonksiyonu yukarıda verilen türlerin hiç birine uymuyorsa (lnx ; tgx ; 1/sinx ; cos³x ; vs.) tüm haller için uygulanabilen Lagrange sabitlerin değişim metodu kullanılacaktır.

1- $\small {\color{Orange} y''-4y=x^2+5x+6}$ denkleminin genel çözümünü bulunuz.