Diferansiyel Denklemler Kitabı Ücretli Soru Çözümleri 23

Diferansiyel Denklemler konusunda uzmanlaşmış bir ekibe sahip olan Ödevcim, size diferansiyel denklemler ve tüm matematik konularında soru çözümlerinde yardımcı olmak için burada. Dilerseniz tüm ödevinizi biz hazırlayalım, dilerseniz size dilediğiniz konuda özel ders verelim. Ödevcim ekibine ulaşmak çok kolay. Hemen whatsapp destek hattımızdan veya akademikodevcim@gmail.com mail adresimizden bizlere talebinizi iletebilir, ücretlerimiz hakkında fikir edinebilirsiniz.

Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklemlere Dönüştürülebilen Diferansiyel Denklemler

Euler Diferansiyel Denklemi

$\small a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n$ katsayıları sabit olmak üzere,

$\small a_0x^n\frac{\mathrm{d}^ny }{\mathrm{d} x^n}+a_1x^{n-1}\frac{\mathrm{d}^{n-1} }{\mathrm{d} x^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}x\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+a_ny=Q(x)$

şeklindeki değişken katsayılı lineer diferansiyel denklemlere Euler diferansiyel denklemi denir. Dikkat edilirse her terimdeki x in uveti ile türevin mertebesi birbirine eşittir. Bu tip denklemlerde, x=e^t dönüşümü yapılarak verilen diferansiyel denklem sabit katsayılı lineer bir diferansiyel denkleme indirgenir. Şöyle ki:

$\small a_0x^2y''+a_1xy'+a_2y=Q(x)$

ikinci mertebeden Euler diferansiyel denklemini göz önüne alalım.

$\small x=e^t~;~\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=e^t~ve~~\frac{\mathrm{d}t }{\mathrm{d} x}=e^{-t}$

olduğundan,

$\small y'=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}=e^{-t}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}~~ve~~y''=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(e^{-t}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t})\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}=e^{-2t}\frac{\mathrm{d}^2y }{\mathrm{d} t^2}-e^{-2t}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$

olacağından verilen diferansiyel denklem,

$\small a_0\frac{\mathrm{d} ^2y}{\mathrm{d} t^2}+(a_1-a_0)\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}+a_2y=Q(e^t)$

şeklini alır. Bu da kısaca,

$\small a_0\frac{\mathrm{d} ^2y}{\mathrm{d} t^2}+a_3\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} + a_2y=F(t)$

şeklinde gösterilebilir. Görüldüğü gibi bu son denklem ikinci mertebeden sbit katsayılı diferansiyel denklem olup bilinen metodlarla çözümü yapıldıktan sonra, x=e^t veya t=lnx konulmak suretiyle Euler diferansiyel denkleminin genel çözümü bulunur. n. mertebeden Euler denklemlerinin çözümü için benzer bir yol izlenecektir.

Legendre Diferansiyel Denklemi

$\small a_0,a_1,\cdots,a_n,a,b$ sabitler olmak üzere,

$\small a_0(ax+b)^ny^{(n)}+a_1(ax+b)^{n-1}y^{n-1}+\cdots+a_ny=Q(x)$

veya kısaca,

$\small \sum_{k=0}^{n}(ax+b)^{n-k}a_ky^{(n-k)}=Q(x)$

şeklindeki diferansiyel denkleme Legendre diferansiyel denklemi denir. Bu tip denklemlerde, $\small ax+b=e^t$ dönüşümü uygulanarak sabit katsayılı lineer diferansiyel denklemlere indirgeme yapılır. İkinci mertebeden bir Legendre denklemini göz önüne alalım.

$\small a_0(ax+b)^2y''+a_1(ax+b)y'+a_2y=Q(x)$

olduğundan,

$\small ax+b=e^t~;~y'=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}=ae^{-t}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}~;~y''=a^2e^{-2t}(\frac{\mathrm{d}^2y }{\mathrm{d} t^2}-\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t})$

dönüşümü yapılarak,

$\small F(t)=Q(\frac{e^t-b}{a})$

olmak üzere,

$\small a^2a_0\frac{\mathrm{d} ^2y}{\mathrm{d} t^2}+(a_1a-a_0a^2)\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}+a_2y=F(t)$

sabit katsayılı denklemi elde edilir. Bu denklem bilinen metodlarla çözülerek genel çözümde,

$\small t=ln(ax+b)$