Diferansiyel Denklemler Kitabı Ücretli Soru Çözümleri 24

Diferansiyel Denklemler konusunda uzmanlaşmış bir ekibe sahip olan Ödevcim, size diferansiyel denklemler ve tüm matematik konularında soru çözümlerinde yardımcı olmak için burada. Dilerseniz tüm ödevinizi biz hazırlayalım, dilerseniz size dilediğiniz konuda özel ders verelim. Ödevcim ekibine ulaşmak çok kolay. Hemen whatsapp destek hattımızdan veya akademikodevcim@gmail.com mail adresimizden bizlere talebinizi iletebilir, ücretlerimiz hakkında fikir edinebilirsiniz.

Lineer Diferansiyel Denklemlerin Operatörlerle Çözümü

n. mertebeden değişken katsayılı lineer bir diferansiyel denklemin genel olarak,

$\small \sum_{k=0}^{n}a_k(x)y^{(n-k)}=Q(x)$

şeklinde olduğunu biliyoruz. Ancak,

$\small L=a_0(x)\frac{\mathrm{d}^n }{\mathrm{d} x^n}+a_1\frac{\mathrm{d} ^{n-1}}{\mathrm{d} x^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}(x)\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}+a_n$

şeklinde tanımlanan lineer diferansiyel operatör yardımıyla yukarıdaki denklem L(y) = Q(x) biçiminde de gösterilebilir. Özel olarak $\small \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}$ türev operatörü D ile gösterilmek üzere,

$\small d= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x},~D^2=\frac{\mathrm{d} ^2}{\mathrm{d} x^2},~ ...~,D^n=\frac{\mathrm{d}^n }{\mathrm{d} x^n}$

konularak diferansiyel denklem,

$\small \sum_{k=0}^{n}a_k(x)D^{n-k}y=Q(x)$

şeklinde de gösterilebilir. Burada $\small D^0y=y$ dir. O halde L operatörü,

$\small L=a_0(x)D^n+a_1(x)D^{n-1}+\cdots+a_{n-1}(x)D+a_n(x)$

şeklinde yazılabilir.

Birçok durumda lineer operatör n tane lineer çarpanın çarpamı şeklinde yazılabilir. Bu şekilde lineer operatörün çarpanlara ayrılmasıyla, lineer diferansiyel denklemler kolaylıkla çözülebilirler.

Şimdi $\small a_0,a_1,\cdots,a_n$ ler sabit olmak üzere,

$\small \sum_{k=0}^{n}a_k(x)y^{(n-k)}=0$

sabit katsayılı lineer homojen diferansiyel denklemi göz önüne alalım. Bu denklem,

$\small \sum_{k=0}^{n}a_kL^{(n-k)}=L$

olduğundan, $\small Ly=0$ şeklinde gösterilir. $\small L=0$ formal denkleminin kökleri $\small r_1,r_2,\cdots,r_n$ ile gösterilirse L operatörü,

$\small L=(D-r_1)(D-r_2)\cdots(D-r_n)$

şeklinde çarpanlara ayrılır. Böylece sabit katsayılı lineer homojen diferansiyel denklem,

$\small Ly= (D-r_1)(D-r_2)\cdots(D-r_n)y=0$

şeklinde yazılır. Bu denklemler de,

$\small (D-r_i)y=0~~~~(i=1,2,\cdots,n)~~veya~~\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}-r_iy=0$

şeklinde yazılıp integral alınırsa,

$\small y=C_ie^{r_ix}~~~~~~~~~(i=1,2,,\cdots,n)$

çözümleri elde edilir. Bunların hepsi, $\small Ly=0$ denkleminin bir çözümüdür. Bu çözümler toplanırsa,

$\small y_G=\sum_{i=1}^{n}C_ie^{r_ix}$

genel çözümü elde edilir.

Şimdi,

$\small Ly=(a_0D^n+a_1D^{n-1}+\cdots+a_{n-1}D+a_n)=Q(x)$

sabit katsayılı karşı taraflı lineer diferansiyel denklemi göz önüne alalım. Bu denklemin genel çözümü için önce $\small Ly=0$ homojen kısmının genel çözümü bulunur. Daha sonra sağ taraf için özel çözümler aranır. Bu özel çözümleri bulmak için $\small L^{-1}$ şeklindeki diferansiyel operatörün inversine ihtiyaç vardır. Bunun için,

$\small \frac{1}{L}L_y=y=\frac{1}{L}Q(x)$

yazılarak,

$\small y=\frac{1}{(D-r_1)(D-r_2)\cdots(D-r_n)}Q(x)$

elde edilir. Paydadaki operatörleri Q(x) e uygulamanın iki yolundan biri,

$\small u=\frac{1}{D-r_n}Q(x)$

konularak $\small (D-r_n)u=Q(x)$ den,

$\small \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}-r_nu=Q(x)$

şeklinde elde edilen birinci mertebeden lineer diferansiyel denklemi,

$\small u=e^{r_nx}\int e^{-r_nx}Q(x)dx$

şeklinde çözmek ve bu değeri yerine yazarak elde edilen ifadede,

$\small v=\frac{1}{D-r_{n-1}}u$

şeklinde yeni bir dönüşüm yapmak ve bu işlemleri ard arda tekrar ederek,

$\small y=e^{r_1x}\int e^{(r_2-r_1)x}\int e^{(r_3-r_2)x}\int \cdots\int e^{-r_nx}Q(x)(dx)^n$

özel çözümünü bulmaktan ibarettir.

1- $\small {\color{DarkGreen} y''+5y'+6y=0}$ denkleminin genel çözümünü operatörler yardımıyla yazınız.