Diferansiyel Denklemler Soru Yardımı Alma 15

Diferansiyel Denklemler Soru Yardımı Alma 14

Diferansiyel Denklemler konusunda uzmanlaşmış bir ekibe sahip olan Ödevcim, size diferansiyel denklemler ve tüm matematik konularında soru çözümlerinde yardımcı olmak için burada. Dilerseniz tüm ödevinizi biz hazırlayalım, dilerseniz size dilediğiniz konuda özel ders verelim. Ödevcim ekibine ulaşmak çok kolay. Hemen whatsapp destek hattımızdan veya akademikodevcim@gmail.com mail adresimizden bizlere talebinizi iletebilir, ücretlerimiz hakkında fikir edinebilirsiniz.

Diferansiyel Denklemlerin Bazı Geometrik Uygulamaları (Ortogonal ve İzogonal Yörüngeler)

$\large f(x,y,C)=0$

denklemiyle verilen eğri ailesini göz önüne alalım. Bu eğri ailesini eşit açılar altında kesen eğri ailesine, birinci eğri ailesinin eşit açılı (izogonal) yörüngeleri denir. Şayet bu açı dik ise yörüngelere ortogonal yörüngeler denir.

f(x,y,C)=0 ailesinin bir elemanı y=y₁ (x) olsun. f(x,y,C)=0 ailesinin izogonal yörüngeleri olan φ (x,y,C) = 0 ailesinin bir elemanı da y = y₂(x) olsun. Bu iki eğrinin teğetleri T₁ ve T₂ ; teğetlerin eğimleri de sıra ile m₁ = tgβ , m₂ = tgα olsun. Aralarındaki açı ϒ olmak üzere,

$\large \alpha = \beta +\gamma$

yazılabilir. Buradan da

$\large tg\beta = tg(\alpha -\gamma )=\frac{tg\alpha -tg\gamma }{1+tg\alpha .tg\gamma }=\frac{m_2-tg\gamma }{1+m_2.tg\gamma }$ elde edilir. $\large m_1 = tg\beta = y'_{1}~,~~ m_2=tg\alpha =y'_{2}$ konularak,

$\large y'_1=\frac{y'_2-tg\gamma }{1+y'_2.tg\gamma }$

bulunur. γ = 90 ° özel hal için, tg γ = ∞ olacağından, $\large y'_1=-\frac{1}{y'_2}$ elde edilir. O halde genel olrak verilen eğri ailesinin diferansiyel denklemi,

$\large F(x,y,y')=0$

şeklinde ise, aileyi verilen bir γ açısı altında kesen eğrilerin diferansiyel denklemlerini bulmak için denklemde y’ yerine

$\large \frac{y'-tg\gamma }{1+y'.tg\gamma }$

konulur. Bu denklem çözülerek izogonal yörüngelerin denklemi,

$\large \varphi (x,y,C)=0$

şeklinde bulunur. Dik yörüngeler için ise y’ yerine $\large \frac{-1}{y'}$ konulacaktır.

Özet olarak, f(x,y,C)=0 eğri ailesi verilir. Sonra bunun F(x,y,y’) = 0 şeklindeki diferansiyel denklemi bulunur. Bu denklemden yukarıdaki dönüşümer yardımı ile

Φ (x,y,y’) = 0 şeklinde izogonal yörüngelerin diferansiyel denklemine geçilir. Bu denklem bilinen metodlarla çözülerek φ (x,y,C) = 0 yörüngelerin denklemi elde edilir.

(y’) ye Göre Çözülebilen Diferansiyel Denklemler

$\large F(x,y,y')=0$

diferansiyel denklemi (y’) ye göre,

$\large f_1(x,y)y'^{n}+f_2(x,y)y'^{n-1}+..+f_{n-1}y'+f_{n}(x,y)=0$

şeklinde n. dereceden bir polinom ise, bu durumda teorik olarak bu denklem (y’) ye göre çözülebilir. Yani denklem,

$\large [y'-\varphi _{1}(x,y)][y'-\varphi _2(x,y)] ... [y'-\varphi _n (x,y)]=0$

şeklinde çarpanlara ayrılıp her bir çarpan sıfıra eşitlenirse,

$\large \begin{align*} y' = \varphi _1 (x,y)\\ y' = \varphi _2 (x,y)\\ y' = \varphi _n (x,y) \end{align*}$

birinci mertebeden ve birinci dereceden n tane diferansiyel denklem elde edilir. Bunlar teker teker integre edilerek,

$\large \begin{align*} \theta _1 (x,y,C)&=0\\ \theta_2 (x,y,C)&=0\\ \vdots \\ \theta _n (x,y,C)&=0 \end{align*}$

genel çözümleri bulunur. Bu son denklemlerin sayısı sonlu ise aranan genel çözüm bunların

$\large \theta _1 (x,y,C).\theta _2 (x,y,C)...\theta _n (x,y,C)=0$