Diferansiyel Denklemler Soru Çözümü Yaptırma 9

Diferansiyel Denklemler konusunda uzmanlaşmış bir ekibe sahip olan Ödevcim, size diferansiyel denklemler ve tüm matematik konularında soru çözümlerinde yardımcı olmak için burada. Dilerseniz tüm ödevinizi biz hazırlayalım, dilerseniz size dilediğiniz konuda özel ders verelim. Ödevcim ekibine ulaşmak çok kolay. Hemen whatsapp destek hattımızdan veya akademikodevcim@gmail.com mail adresimizden bizlere talebinizi iletebilir, ücretlerimiz hakkında fikir edinebilirsiniz.

Birinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

$\dpi{120} \large f(x)y'+g(x)y=h(x)$

şeklindeki bir diferansiyel denkleme lineer denir. Bu denklem f(x) ile bölünerek,

$\dpi{120} \large y'+P(x)y=Q(x)$

şeklinde lineer diferansiyel denklemlerin genel formu elde edilir. Bu tip denklemlerin çözümünde üç ayrı yol izlenecektir.

a) y=uv dönüşümü ile çözüm:

Burada u=u(x) ve v=v(x) şeklindedir. $\dpi{120} \large y'=u'v+v'u$ olduğundan,

$\inline \dpi{120} \large u'v+v'u+P(x)uv-Q(x)=0~~veya~~[u'+P(x)u]v+v'u-Q(x)=0$

elde edilir. u fonksiyonunu u’+P(x)u=0 olacak şekilde seçersek,

$\dpi{120} \large \frac{du}{u}+P(x)dx=0~~\Rightarrow lnu=-\int P(x)dx~\Rightarrow u=e^{-\int Pdx}$

elde edilir. Bu değeri,

$\dpi{120} \large \overbrace{v(u'+pu)}^0+uv'-Q=0$

da yerine yazarsak,

$\dpi{120} \large v'e^{-\int Pdx}-Q=0~\Rightarrow ~ v'=Qe^{\int Pdx}$

bulunur. Buradan da integrasyonla

$\dpi{120} \large v=\int [Qe^{Pdx}]dx+C$

elde edilir. u,v nin değerleri y=u.v de yerine yazılarak genel çözüm

$\dpi{120} \large y=e^{-\int Pdx}\begin{bmatrix} \int Q.e^{Pdx}dx+C \end{bmatrix}$

şeklinde bulunur.

b) Denklemin μ = μ (x) şeklinde x’e bağlı bir integrasyon çarpanını araştırarak genel çözümün bulunması:

$\dpi{120} \large y'+P(x)y=Q$

denklemi

$\dpi{120} \large y'+P(x)y-Q(x)=0~~veya~~dy+[P(x)y-Q(x)]dx=0$

şeklinde yazılırsa,

$\inline \dpi{120} \large \frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=\frac{0-P(x)}{-1}=P(x)\Rightarrow ln\mu(x)=\int P(x)dx~\Rightarrow~\mu(x)=exp(\int P(x)dx)$

şeklinde integrasyon çarpanı bulunarak,

$\dpi{120} \large e^{\int Pdx}dy+(Py-Q)e^{\int Pdx}=0$

tam diferansiyel denkleminden

$\dpi{120} \large y.e^{\int Pdx}-\int Q.e^{\int Pdx}dx=C$

şeklinde genel çözüm bulunur.

UYARI 1: y’+Py=Q denkleminin y₁ gibi bir özel çözümü biliniyorsa,

$\dpi{120} \large y'_{1}+Py_{1}=Q$

olacağından bu iki denklem arasında Q yok edilerek,

$\dpi{120} \large (y'-y'_{1})+P(y-y_{1})=0$

değişkenlerine ayrılan denklem elde edilir. Zira u = y-y₁ , u’ = y’-y’₁ koyarsak,

$\dpi{120} \large u'+Pu=0~\Rightarrow ~\frac{du}{u} +Pdx=0~ \Rightarrow ~u=C.e^{-\int Pdx}$

bulunur. O halde u = y – y₁ koyarak,

$\dpi{120} \large y=u+y_{1}=C.e^{-\int Pdx}+y_{1}$

şeklinde genel çözüm,

$\dpi{120} \large y = C_{1}.a(x)+b(x)$

tipinde elde edilir. Burada $\dpi{120} \large C.e^{-\int Pdx}$ sağ tarafın genel çözümüdür.

UYARI 2: y₁ , y’ + P(x) y = Q denkleminin bir özel çözümü ise,

$\dpi{120} \large y-y_{1}=C.e^{-\int Pdx}$

yazılabiliyordu. y₂ gibi ikinci bir özel çözüm biliniyorsa,

$\dpi{120} \large y_{2}-y_{1}= C_{1}.e^{-\int Pdx}$

olacaktır. O halde bu iki denklem birlikte,

$\dpi{120} \large \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{C}{C_{1}}=sabit$

verilen lineer denklemin genel çözümüdür.

c) Denklemin “sabitin değişimi metodu” ile çözümü:

Önce y’ +Py = Q denkleminde sağ tarafsız denklem çözümü bulunur. Yani,

$\dpi{120} \large y'+Py=0~~\Rightarrow ~~ \frac{dy}{y}+Pdx=0 \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Rightarrow lny+\int Pdx=ln C ~~\Rightarrow y=C.e^{-\int Pdx}$

elde edilir. Şimdi, C sabiti yerine C(x) fonksiyonu alınacaktır. (Sabitin değiştirilmesi). Yani,

$\dpi{120} \large y=C(x).e^{-\int Pdx}$

alınır. Bununla denkleme girilerek

$\dpi{120} \large C'(x)=Q.e^{\int Pdx}$

bulunur ve integrasyonla,

$\dpi{120} \large C(x)=\int (Q.e^{Pdx})dx+C$

elde edilir. C(x) in bu son değeri yerine yazılarak,

$\dpi{120} \large y= \begin{bmatrix} \int Q.e^{\int Pdx}dx+C \end{bmatrix}e^{-\int Pdx}$

genel çözümü bulunmuş olur.

1 – $\dpi{120} \large {\color{Teal} y' + tgx ~y=-cotg^2x}$ diferansiyel denkleminin genel çözümünü y= u.v dönüşümü ile bulunuz.